リサジュー図形

学習指導要領： Sek II

目的¶

リサジュー図形をつくり、それを使って2つの信号の周波数の比を求めます。

実験装置¶

振幅 5 V の正弦波の電圧源が2台あります。右の電圧源は 100 Hz で CH1（X軸）に、左の電圧源は 200 Hz で CH2（Y軸）につながっています。電圧源の共通端子は、オシロスコープの GND につながっています。X-Yモードで、両チャンネルとも 2 V/div です。

手順¶

画面の図形を見ます。
電圧源を 200 Hz と 300 Hz にします。
周波数を等しく、たとえば 100 Hz と 100 Hz にします。
それぞれの図形について、枠の水平な辺と垂直な辺に接する点の数を数えます。

予想される結果

100 Hz と 200 Hz では、ループが2つある図形になります（比 1:2）。200 Hz と 300 Hz では、接点の数の比が 2:3 の図形になります。周波数が等しいときは楕円または線分になり、その形は位相のずれによって決まります。周波数の比は接点の数の比に等しく、Y方向の周波数とX方向の周波数の比は、水平な辺に接する点の数と垂直な辺に接する点の数の比になります。実験装置の電圧源は周波数を正確に保つので、図形は静止したままです。実際のファンクションジェネレータ2台では周波数がわずかに異なるので、図形はゆっくり回転して、あらゆる形を順に通ります。回転が遅いほど、周波数は正確にそろっています。

問題¶

リサジュー図形から未知の周波数を求めるには、どうすればよいですか。
周波数の比が整数の比のときにだけ図形が静止するのはなぜですか。

解答

一方のチャンネルに周波数のわかっている信号を、もう一方に未知の信号を入れ、図形が静止するまで既知の周波数を調整します。すると \(f_Y / f_X = n_h / n_v\) となります。ここで \(n_h\) は枠の水平な辺に接する点の数、\(n_v\) は垂直な辺に接する点の数です。たとえば X に 100 Hz を入れ、図形が上の辺に2回、横の辺に1回接するなら、Y の周波数は 100 Hz · 2 / 1 = 200 Hz です。
図形がくり返されるのは、両方の信号の整数個の周期のあとで輝点が同じ点に戻る場合だけで、\(n \cdot T_X = m \cdot T_Y\)、つまり \(f_Y / f_X = m / n\) のときです。100 Hz と 200 Hz では、これは 10 ms ごと、X の1周期と Y の2周期のあとに起こります。それ以外の比では信号間の位相がずれつづけ、軌跡は閉じず、図形はゆっくり形を変えます。