Figuras de Lissajous

Currículos: Sek II

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Objetivo

Obter figuras de Lissajous e usá-las para determinar a razão entre as frequências de dois sinais.

A montagem

Duas fontes de tensão senoidal com amplitude de 5 V: a da direita — 100 Hz, ligada ao CH1 (eixo X); a da esquerda — 200 Hz, ao CH2 (eixo Y). Os terminais comuns das fontes estão ligados ao TERRA do osciloscópio. Modo X-Y, 2 V/div nos dois canais.

Procedimento

1. Observe a figura na tela.
2. Ajuste 200 e 300 Hz nas fontes.
3. Ajuste frequências iguais, por exemplo 100 e 100 Hz.
4. Para cada figura, conte os pontos de tangência com os lados horizontais e verticais do quadro.

Resultado esperado

Em 100 e 200 Hz aparece uma figura com dois laços (razão 1:2). Em 200 e 300 Hz — uma figura com razão de tangências 2:3. Com frequências iguais — uma elipse ou um segmento de reta: a forma depende da defasagem. A razão entre as frequências é igual à razão entre as tangências: a frequência em Y está para a frequência em X assim como o número de tangências do lado horizontal está para o número de tangências do lado vertical. As fontes da montagem mantêm a frequência exata, então a figura fica parada. Com dois geradores de funções reais as frequências diferem um pouco e a figura gira devagar, passando por todas as suas formas; quanto mais lenta a rotação, mais precisamente as frequências estão ajustadas.

Questões

1. Como você pode encontrar uma frequência desconhecida a partir de uma figura de Lissajous?
2. Por que a figura só fica parada quando a razão entre as frequências é uma razão entre números inteiros?

Respostas

1. Aplique um sinal de frequência conhecida a um canal e o sinal desconhecido ao outro, e ajuste a frequência conhecida até a figura ficar parada. Então \(f_Y / f_X = n_h / n_v\), onde \(n_h\) é o número de tangências de um lado horizontal do quadro e \(n_v\), de um lado vertical. Por exemplo, com 100 Hz em X e uma figura que toca o lado superior duas vezes e o lado vertical uma vez, a frequência em Y é 100 Hz · 2 / 1 = 200 Hz.
2. A figura só se repete se o ponto luminoso voltar ao mesmo lugar após um número inteiro de períodos dos dois sinais: \(n \cdot T_X = m \cdot T_Y\), o que significa \(f_Y / f_X = m / n\). Em 100 e 200 Hz isso acontece a cada 10 ms, após um período de X e dois de Y. Para qualquer outra razão a fase entre os sinais continua se deslocando, a trajetória nunca se fecha e a figura muda lentamente de forma.