実効値

学習指導要領： A-level, GCSE (ac and dc), Sek I/II

目的¶

交流と直流のはたらきを比べ、実効値の意味を理解します。

実験装置¶

上には 7.07 V の直流電圧源と 12 V / 5 W の電球があります。下には振幅 10 V、50 Hz の正弦波の電圧源と同じ電球があり、その上にACモードの電圧計があります。右にはオシロスコープがあり、交流電圧源につながっています（CH1、5 V/div、5 ms/div）。

手順¶

電球の明るさを比べます。
電圧計の値と、オシロスコープの自動測定値（Vpp、Vrms）を記録します。
電圧計をDCモードに切り替えます。
交流電圧源で方形波を選び、もう一度明るさを比べます。

予想される結果

電球は同じ明るさで光ります。振幅 10 V の正弦波は、7.07 V の直流と同じだけフィラメントを熱します。ACモードの電圧計は約 6.9 V を示します。電圧の一部が電圧源の 0.5 Ω の内部抵抗にかかるからです。オシロスコープのピークツーピーク値は約 19.5 V です。DCモードでは、電圧計はほぼ 0 を示します。振幅 10 V の方形波の実効値は 10 V で、下の電球のほうが明るく光ります。

問題¶

正弦波の実効値が振幅の \(\sqrt{2}\) 分の1になるのはなぜですか。
方形波に切り替えたあと電球を同じ明るさにするには、直流電圧をいくらにすればよいですか。

解答

抵抗で熱になる電力は \(u^2 / R\) です。正弦波では \(u^2 = U_m^2 \cdot \sin^2(\omega t)\) で、\(\sin^2\) の1周期の平均は2分の1なので、同じだけ熱する直流電圧は \(U^2 = U_m^2 / 2\)、つまり \(U = U_m / \sqrt{2}\) を満たします。この実験装置では 10 V / √2 ≈ 7.07 V です。
10 V です。振幅 10 V の方形波はどの瞬間にも +10 V か −10 V で、フィラメントはどちらの極性でも同じように熱せられるので、方形波の実効値は振幅に等しくなります。