コンデンサを充電するときのエネルギー

学習指導要領： A-level, AP2, APC, Tle, Sek II

目的¶

コンデンサを充電するときに電圧源が供給するエネルギーと、そのうちコンデンサがたくわえるエネルギーを測定します。

実験装置¶

6 V の電圧源、切り替えスイッチ、10 Ω の抵抗、0.47 F のコンデンサ（\(\tau\) ≈ 5 s）があります。このコンデンサはスーパーキャパシタで、内部抵抗の小さいセルを組み合わせた、定格 6 V 以上のものです。スーパーキャパシタのセル1個の定格は 2.7 V または 5.5 V で、6 V はセル1個には高すぎます。1台目の電力計は電圧源の出力に、2台目はコンデンサにつながっています。実験を開いたとき、スイッチは「2」の位置にあり、コンデンサは放電しています。

手順¶

両方の電力計で ▶■ を押します。
スイッチを「1」に切り替え、両方の計器の電力がほぼ 0 に下がるまで約 30 s 待ちます。両方の計器でエネルギー \(E\)、つまり電圧源が供給したエネルギーとコンデンサにたくわえられたエネルギーを記録します。
両方のエネルギーを \(C \cdot U^2\) および \(C \cdot U^2 / 2\) と比べます。
スイッチを「2」に切り替え、2台目の電力計を観察します。

予想される結果

充電のあいだに電圧源は約 16.5 J を供給し（\(C \cdot U^2\) = 0.47 · 6² ≈ 16.9 J）、コンデンサは約 8.5 J、つまり \(C \cdot U^2\) の半分をたくわえます（\(C \cdot U^2 / 2\) ≈ 8.5 J）。電圧源の電力計で見ると、電圧源が供給するエネルギーは \(C \cdot U^2\) よりわずかに小さくなります。電力計は電圧源の内部抵抗のあとにあり、内部抵抗で生じる約 0.4 J の熱は計器にはとらえられないからです。残りの半分は抵抗で熱に変わり、この割合は抵抗の大きさによりません。放電のあいだ、2台目の電力計の電力は負になり（エネルギーがコンデンサから回路へ流れます）、そのカウンタはほぼ 0 まで減ります。たくわえられたエネルギーは、抵抗で熱に変わります。

問題¶

充電のあいだに、コンデンサがたくわえるのと同じだけのエネルギーが抵抗で放出されるのはなぜですか。
100 Ω の抵抗を使うと、コンデンサがたくわえるエネルギーの割合は変わりますか。何が変わりますか。
電力計の電力が負になるのは、何を意味しますか。

解答

電圧源は全電荷 \(q = C \cdot U\) を自身の電圧 \(U\) のままで運び、仕事 \(q \cdot U = C \cdot U^2\) ≈ 16.9 J をします。コンデンサはこの電荷を、自身の電圧が 0 から \(U\) まで上がるあいだに、平均すると半分の電圧で受け取るので、たくわえるのは \(C \cdot U^2 / 2\) ≈ 8.5 J だけです。残りの半分は熱に変わり、そのほとんどは抵抗で、約 0.4 J は電圧源の内部抵抗で生じます。
変わりません。上の計算には抵抗が含まれていないので、コンデンサはやはり半分の約 8.5 J をたくわえます。充電は約10倍遅くなって \(\tau = R \cdot C\) = 100 Ω · 0.47 F = 47 s となるので数分かかり、はじめの電流と電力は約10分の1になります。
エネルギーが計器を逆向きに流れていること、つまり計器が測っている回路の部分がエネルギーを送り出していることを意味します。放電のあいだ、コンデンサは電源としてはたらき、その 8.5 J は抵抗で熱に変わるので、カウンタは減っていきます。一方の回路を逆向きにつないだ電力計も、負の電力を示します。