交流の電力
学習指導要領： GCSE (ac and dc), A-level, Sek II
目的¶
抵抗での交流の電力を測定し、電圧の実効値と関係づけます。
実験装置¶
交流電圧源（正弦波、振幅 10 V、50 Hz）、電力計、10 Ω の抵抗があります。電力計の電圧回路とACモードの電圧計は、バスを通して抵抗につながっています。
手順¶
- 電力計の表示から電力 \(P\) を、電圧計から電圧の実効値 \(U\) を記録します。
- \(U^2 / R\) を計算し、\(P\) と比べます。
- 抵抗の電圧と電流の振幅 \(U_m = \sqrt{2} \cdot U\) と \(I_m = U_m / R\)、およびその積を計算し、\(P\) と比べます。
- 交流電圧源の周波数を変えます（たとえば 500 Hz に）。電力は変わりましたか。
予想される結果
電力計は約 4.38 W、電圧計は約 6.63 V を示します。電圧源の内部抵抗と電力計のシャント抵抗があるので、抵抗の電圧の振幅は 10 V より小さくなります。\(U^2 / R\) = 6.63² / 10 ≈ 4.40 W で、これが電力です。実効値はまさに、交流が同じ値の直流と同じだけ抵抗を熱するように定義されています。抵抗の電圧の振幅は \(U_m\) ≈ 9.38 V、\(I_m\) ≈ 0.94 A で、その積は約 8.8 W、電力の2倍です。電力計が示すのは \(u \cdot i\) の1周期の平均で、最大値ではありません。抵抗では、電力は周波数によりません。
問題¶
- 交流の電力が、電圧と電流の振幅の積の半分に等しいのはなぜですか。
- この抵抗で同じ電力を得るには、直流電圧をいくらにすればよいですか。
- 電圧計と電流計があるのに、電力計に電圧回路が必要なのはなぜですか。ヒント：抵抗の代わりに 100 µF のコンデンサをつなぐと、電圧計は電圧を、電流計は電流を示しますが、電力はほぼ 0 になります。
解答
- 抵抗では電圧と電流は同位相なので、\(p = u \cdot i = U_m \cdot I_m \cdot \sin^2(\omega t)\) となり、電力は電圧源の2倍の周波数で 0 と \(U_m \cdot I_m\) のあいだを変化します。\(\sin^2\) の1周期の平均は2分の1なので、\(P = U_m \cdot I_m / 2\) = 9.38 V · 0.94 A / 2 ≈ 4.4 W です。
- 実効値に等しい直流電圧、つまり抵抗の両端で 6.63 V です（6.63² / 10 ≈ 4.40 W）。電圧源でいえば 10 V / √2 ≈ 7.07 V です。内部抵抗とシャント抵抗は、直流電圧からも交流電圧と同じ割合を受けもつからです。
- 電圧計と電流計は実効値しか示さず、その積 \(U \cdot I\) には電圧と電流の位相のずれが反映されません。電力計は瞬時値をかけ合わせ、\(u \cdot i\) を1周期にわたって平均します。100 µF のコンデンサでは、電流は電圧より4分の1周期進んでいます。コンデンサは1周期の4分の1のあいだにエネルギーを受け取り、次の4分の1のあいだにそれを返すので、計器は約 7 V と 0.22 A を示しても、\(u \cdot i\) の平均はほぼ 0 です。