电容充电时的能量

课程标准： A-level, AP2, APC, Tle, Sek II

实验目的¶

测量电容充电时电压源输出了多少能量，以及其中有多少储存在电容中。

实验装置¶

6 V 电压源、单刀双掷开关、10 Ω 电阻和 0.47 F 电容（\(\tau\) ≈ 5 s），这是一只超级电容：由内阻很低的单体组成的组件，额定电压为 6 V 及以上；单个超级电容单体的额定电压为 2.7 V 或 5.5 V，6 V 对它来说太高了。第一只功率表接在电压源的输出端，第二只接在电容上。打开本实验时，开关处于位置“2”，电容未充电。

实验步骤¶

在两只功率表上都按下 ▶■。
把开关拨到“1”，等待约 30 s，直到两只表上的功率都几乎降到零。记录两只表上的能量 \(E\)：电压源输出的能量和电容储存的能量。
把两个能量分别与 \(C \cdot U^2\) 和 \(C \cdot U^2 / 2\) 比较。
把开关拨到“2”，观察第二只功率表。

预期结果

充电过程中，电压源输出约 16.5 J（\(C \cdot U^2\) = 0.47 · 6² ≈ 16.9 J），电容储存约 8.5 J，即 \(C \cdot U^2\) 的一半（\(C \cdot U^2 / 2\) ≈ 8.5 J）。按电压源自己的功率表，电压源输出的能量略小于 \(C \cdot U^2\)：功率表接在电压源内阻之后，这只表测不到内阻中约 0.4 J 的热量。另一半能量在电阻中转化为热，这一份额与电阻的阻值无关。放电时，第二只功率表上的功率为负值——能量从电容流入电路——它的计数减小到几乎为零：储存的能量在电阻中转化为热。

问题¶

为什么充电过程中电阻上放出的能量与电容储存的能量一样多？
如果换用 100 Ω 电阻，电容储存的能量所占的份额会改变吗？什么会改变？
功率表上的功率为负值表示什么？

答案

电压源在其全部电压 \(U\) 下移送全部电荷 \(q = C \cdot U\)，做功 \(q \cdot U = C \cdot U^2\) ≈ 16.9 J。电容在电压从 0 增大到 \(U\) 的过程中接收这些电荷，平均只在一半电压下，所以它只储存 \(C \cdot U^2 / 2\) ≈ 8.5 J。另一半转化为热，几乎全部在电阻中，约 0.4 J 在电压源内阻中。
不会：电容仍然储存一半，约 8.5 J，因为上面的计算中不含电阻。充电所需的时间约为原来的十倍，\(\tau = R \cdot C\) = 100 Ω · 0.47 F = 47 s，因此要用几分钟，开始时的电流和功率约为原来的十分之一。
能量沿相反方向流过电表：电表所测的那部分电路向外输出能量。放电时，电容相当于电源，它的 8.5 J 在电阻中转化为热，所以计数逐渐减小。功率表的某一个回路接反时，也会显示负功率。