커패시터를 충전할 때의 에너지

교육과정: A-level, AP2, APC, Tle, Sek II

목표¶

커패시터를 충전할 때 전압원이 내주는 에너지가 얼마이고, 그중 커패시터가 저장하는 에너지가 얼마인지 측정합니다.

실험 장치¶

6 V 전압원, 전환 스위치, 10 Ω 저항, 0.47 F 커패시터(\(\tau\) ≈ 5 s) — 이 커패시터는 슈퍼커패시터로, 내부 저항이 작은 셀을 묶은 것이며 정격은 6 V 이상입니다. 슈퍼커패시터 셀 하나의 정격은 2.7 V 또는 5.5 V여서 6 V는 셀 하나에 너무 높습니다. 첫 번째 전력계는 전압원의 출력에, 두 번째 전력계는 커패시터에 연결되어 있습니다. 스위치는 “2” 위치에서 시작하며, 커패시터는 방전되어 있습니다.

실험 방법¶

두 전력계에서 ▶■를 누르세요.
스위치를 “1”로 옮기고, 두 장비의 전력이 거의 0으로 떨어질 때까지 약 30 s 기다리세요. 두 장비의 에너지 \(E\), 즉 전압원이 내준 에너지와 커패시터에 저장된 에너지를 기록하세요.
두 에너지를 \(C \cdot U^2\) 및 \(C \cdot U^2 / 2\)과 비교하세요.
스위치를 “2”로 옮기고 두 번째 전력계를 관찰하세요.

예상 결과

충전하는 동안 전압원은 약 16.5 J(\(C \cdot U^2\) = 0.47 · 6² ≈ 16.9 J)을 내주고, 커패시터는 \(C \cdot U^2\)의 절반인 약 8.5 J(\(C \cdot U^2 / 2\) ≈ 8.5 J)을 저장합니다. 전압원 쪽 전력계로 재면 전압원이 내주는 에너지는 \(C \cdot U^2\)보다 조금 작습니다. 전력계가 전압원의 내부 저항 뒤에 있어서, 내부 저항에서 생기는 약 0.4 J의 열을 장비가 보지 못합니다. 나머지 절반은 저항에서 열로 바뀌며, 이 몫은 저항값에 의존하지 않습니다. 방전하는 동안 두 번째 전력계의 전력은 음수이고 — 에너지가 커패시터에서 회로로 흐릅니다 — 누적값은 거의 0까지 줄어듭니다. 저장된 에너지가 저항에서 열로 바뀝니다.

질문¶

충전하는 동안 저항에서 발생하는 에너지는 왜 커패시터가 저장하는 에너지와 같습니까?
100 Ω 저항을 쓰면 커패시터가 저장하는 에너지의 몫이 달라집니까? 무엇이 달라집니까?
전력계의 전력이 음수라는 것은 무엇을 뜻합니까?

답

전압원은 전체 전하 \(q = C \cdot U\)를 자신의 전체 전압 \(U\)로 옮기며 \(q \cdot U = C \cdot U^2\) ≈ 16.9 J의 일을 합니다. 커패시터는 자신의 전압이 0에서 \(U\)까지 커지는 동안, 즉 평균적으로 절반의 전압에서 이 전하를 받으므로 \(C \cdot U^2 / 2\) ≈ 8.5 J만 저장합니다. 나머지 절반은 열로 바뀌는데, 거의 전부는 저항에서, 약 0.4 J은 전압원의 내부 저항에서 발생합니다.
아닙니다. 위의 계산에는 저항이 들어 있지 않으므로 커패시터는 여전히 절반인 약 8.5 J을 저장합니다. 충전은 약 10배 느려져서(\(\tau = R \cdot C\) = 100 Ω · 0.47 F = 47 s) 몇 분이 걸리고, 처음의 전류와 전력은 약 10분의 1이 됩니다.
에너지가 장비를 반대 방향으로 지나간다는 뜻입니다. 장비가 측정하는 회로 부분이 에너지를 내보냅니다. 방전하는 동안 커패시터는 전원으로 작용하고 그 8.5 J은 저항에서 열로 바뀌므로, 누적값이 줄어듭니다. 회로 하나를 반대로 연결한 전력계도 음의 전력을 표시합니다.