交流电的功率
课程标准： GCSE (ac and dc), A-level, Sek II
实验目的¶
测量电阻中交流电的功率，并找出它与电压有效值的关系。
实验装置¶
交流电压源（正弦波，幅度 10 V，50 Hz）；一只功率表和一只 10 Ω 电阻。功率表的电压回路和一只AC模式的电压表通过母线接到电阻上。
实验步骤¶
- 记录功率表显示屏上的功率 \(P\) 和电压表上的电压有效值 \(U\)。
- 计算 \(U^2 / R\)，并与 \(P\) 比较。
- 计算电阻上电压和电流的幅度 \(U_m = \sqrt{2} \cdot U\) 和 \(I_m = U_m / R\)，以及它们的乘积；把乘积与 \(P\) 比较。
- 改变交流电压源的频率（例如改为 500 Hz）。功率变了吗？
预期结果
功率表显示约 4.38 W，电压表显示约 6.63 V：由于电压源内阻和功率表的分流电阻，电阻上的幅度小于 10 V。\(U^2 / R\) = 6.63² / 10 ≈ 4.40 W，这就是功率：有效值的定义正是为了让交流电使电阻发热的效果与同样数值的直流电相同。电阻上的幅度为 \(U_m\) ≈ 9.38 V，\(I_m\) ≈ 0.94 A，两者的乘积约为 8.8 W，是功率的两倍：功率表显示的是 \(u \cdot i\) 在一个周期内的平均值，而不是它的最大值。对电阻来说，功率与频率无关。
问题¶
- 为什么交流电的功率等于电压幅度与电流幅度乘积的一半？
- 多大的直流电压能在这个电阻中产生相同的功率？
- 既然有电压表和电流表，为什么功率表还需要电压回路？提示：如果用 100 µF 电容代替电阻，电压表和电流表都会显示出电压和电流，但功率几乎为零。
答案
- 在电阻中电压与电流同相，所以 \(p = u \cdot i = U_m \cdot I_m \cdot \sin^2(\omega t)\)：功率以电压源频率的两倍在 0 与 \(U_m \cdot I_m\) 之间变化。\(\sin^2\) 在一个周期内的平均值为二分之一，所以 \(P = U_m \cdot I_m / 2\) = 9.38 V · 0.94 A / 2 ≈ 4.4 W。
- 等于有效值的直流电压，即电阻两端 6.63 V：6.63² / 10 ≈ 4.40 W。对电压源来说，这相当于 10 V / √2 ≈ 7.07 V，因为内阻和分流电阻在直流电压中所占的份额与在交流电压中相同。
- 电压表和电流表只显示有效值，它们的乘积 \(U \cdot I\) 没有考虑电压与电流之间的相位差；功率表把瞬时值相乘，并在一个周期内对 \(u \cdot i\) 求平均值。接 100 µF 电容时，电流比电压超前四分之一周期：电容在一个四分之一周期内吸收能量，在下一个四分之一周期内把它送回，所以 \(u \cdot i\) 的平均值几乎为零，尽管电表显示约 7 V 和 0.22 A。