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Leistung im Wechselstromkreis

Lehrpläne: GCSE (ac and dc), A-level, Sek II

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Ziel

Messen Sie die Leistung eines Wechselstroms in einem Widerstand und setzen Sie sie in Beziehung zum Effektivwert der Spannung.

Aufbau

Eine Wechselspannungsquelle (Sinus, Amplitude 10 V, 50 Hz); ein Wattmeter und ein 10-Ω-Widerstand. Der Spannungspfad des Wattmeters und ein Voltmeter im AC-Modus sind über die Sammelschienen an den Widerstand angeschlossen.

Durchführung

  1. Notieren Sie die Leistung \(P\) auf der Anzeige des Wattmeters und die Effektivspannung \(U\) am Voltmeter.
  2. Berechnen Sie \(U^2 / R\) und vergleichen Sie den Wert mit \(P\).
  3. Berechnen Sie die Amplituden von Spannung und Strom im Widerstand, \(U_m = \sqrt{2} \cdot U\) und \(I_m = U_m / R\), und ihr Produkt; vergleichen Sie es mit \(P\).
  4. Ändern Sie die Frequenz der Wechselspannungsquelle (zum Beispiel auf 500 Hz). Hat sich die Leistung geändert?
Erwartetes Ergebnis

Das Wattmeter zeigt etwa 4,38 W, das Voltmeter etwa 6,63 V: Die Amplitude am Widerstand ist kleiner als 10 V wegen des Innenwiderstands der Quelle und des Messwiderstands des Wattmeters. \(U^2 / R\) = 6,63² / 10 ≈ 4,40 W – das ist die Leistung: Der Effektivwert ist gerade so definiert, dass ein Wechselstrom einen Widerstand genauso erwärmt wie ein Gleichstrom desselben Werts. Die Amplitude am Widerstand beträgt \(U_m\) ≈ 9,38 V, \(I_m\) ≈ 0,94 A, und ihr Produkt beträgt etwa 8,8 W – das Doppelte der Leistung: Das Wattmeter zeigt den Mittelwert von \(u \cdot i\) über eine Periode, nicht sein Maximum. Bei einem Widerstand hängt die Leistung nicht von der Frequenz ab.

Fragen

  1. Warum ist die Leistung eines Wechselstroms gleich dem halben Produkt der Amplituden von Spannung und Strom?
  2. Welche Gleichspannung ergäbe in diesem Widerstand dieselbe Leistung?
  3. Wozu braucht ein Wattmeter einen Spannungspfad, wenn es doch Voltmeter und Amperemeter gibt? Hinweis: Mit einem 100-µF-Kondensator statt des Widerstands zeigen Voltmeter und Amperemeter sowohl eine Spannung als auch einen Strom an, die Leistung ist aber fast null.
Antworten
  1. Im Widerstand sind Spannung und Strom in Phase, daher gilt \(p = u \cdot i = U_m \cdot I_m \cdot \sin^2(\omega t)\): Die Leistung schwankt mit der doppelten Frequenz der Quelle zwischen 0 und \(U_m \cdot I_m\). Der Mittelwert von \(\sin^2\) über eine Periode ist 1/2, daher \(P = U_m \cdot I_m / 2\) = 9,38 V · 0,94 A / 2 ≈ 4,4 W.
  2. Eine Gleichspannung gleich dem Effektivwert, 6,63 V am Widerstand: 6,63² / 10 ≈ 4,40 W. An der Quelle bedeutet das 10 V / √2 ≈ 7,07 V, weil der Innenwiderstand und der Messwiderstand von einer Gleichspannung denselben Anteil übernehmen wie von einer Wechselspannung.
  3. Voltmeter und Amperemeter zeigen nur Effektivwerte, und ihr Produkt \(U \cdot I\) berücksichtigt nicht die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom; das Wattmeter multipliziert die Momentanwerte und mittelt \(u \cdot i\) über eine Periode. Mit einem 100-µF-Kondensator eilt der Strom der Spannung um eine Viertelperiode voraus: Der Kondensator nimmt in einem Viertel der Periode Energie auf und gibt sie im nächsten wieder ab, daher ist der Mittelwert von \(u \cdot i\) fast null, obwohl die Messgeräte etwa 7 V und 0,22 A anzeigen.