有效值

课程标准： A-level, GCSE (ac and dc), Sek I/II

实验目的¶

比较交流电和直流电产生的效果，理解有效值的含义。

实验装置¶

上方：7.07 V 直流电压源和一只 12 V / 5 W 灯泡。下方：幅度为 10 V、频率为 50 Hz 的正弦电压源和一只相同的灯泡，灯泡上方有一只AC模式的电压表。右侧：一台示波器，接在交流电压源上（CH1，5 V/格，5 ms/格）。

实验步骤¶

比较两只灯泡的亮度。
记录电压表的示数和示波器的自动测量值（Vpp、Vrms）。
把电压表切换到DC模式。
在交流电压源上选择方波，再次比较亮度。

预期结果

两只灯泡一样亮：幅度为 10 V 的正弦电压使灯丝发热的效果与 7.07 V 直流电压相同。AC模式下电压表的示数约为 6.9 V：一部分电压降在电压源 0.5 Ω 的内阻上。示波器上的峰峰值约为 19.5 V。在DC模式下，电压表的示数约为 0。幅度为 10 V 的方波，有效值为 10 V，下方的灯泡更亮。

问题¶

为什么正弦波的有效值等于它的幅度除以 \(\sqrt{2}\)？
换成方波后，需要多大的直流电压才能使两只灯泡一样亮？

答案

电阻中的发热功率为 \(u^2 / R\)。对于正弦波，\(u^2 = U_m^2 \cdot \sin^2(\omega t)\)，而 \(\sin^2\) 在一个周期内的平均值为二分之一，所以发热效果相同的直流电压满足 \(U^2 = U_m^2 / 2\)，即 \(U = U_m / \sqrt{2}\)：在本实验装置中为 10 V / √2 ≈ 7.07 V。
10 V。幅度为 10 V 的方波在每一时刻都处于 +10 V 或 −10 V，而灯丝在两种极性下发热相同，所以方波的有效值等于它的幅度。