惠斯通电桥

课程标准： A-level (extension), Sek II

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实验目的

使惠斯通电桥平衡，用零示法由三个已知电阻求出一个未知电阻。

实验原理

惠斯通电桥由接在同一个电压源上的两个分压器组成。在上面的分压器中，电流先通过 \(R_1\)，再通过 \(R_2\)；在下面的分压器中，电流先通过 \(R_3\)，再通过 \(R_x\)。四个电阻中的每一个都是电桥的一个桥臂。相对于电压源的“−”极，上面分压器的节点电势为 \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\)，下面分压器的节点电势为 \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\)（参见实验电位器分压）。接在两个节点之间的电压表构成电桥的对角线，测量两个节点之间的电势差。

两个节点的电势相同时，电桥平衡：电压表示数为零，对角线上没有电流。电势相等意味着 \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\)。把两个分式都颠倒过来，两边各减去 1，就得到平衡条件 \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\)，所以未知电阻为 \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\)。写成 \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\) 时，这个条件表明相对桥臂的电阻之积相等：一边是 \(R_1\) 和 \(R_x\)，另一边是 \(R_2\) 和 \(R_3\)。

\(R_1\) 和 \(R_2\) 是比例臂，\(R_3\) 是可调的比较臂。在学校实验室里，\(R_3\) 是一个电阻箱：其中的精密电阻用旋钮选择，个位、十位、百位和千位欧姆各有一个旋钮。比例臂决定电桥的量程和分辨率。\(R_1 / R_2\) = 10 时，\(R_3\) 在 \(R_x\) 的十倍处平衡，所以以整欧姆为步长的电阻箱能把 \(R_x\) 测到十分之一欧姆。\(R_1 / R_2\) = 1/10 时，同一个电阻箱能测量比它自身量程大十倍的电阻。在滑线式电桥中，比例臂是一根均匀电阻丝被滑动触点分成的两段。电阻丝的电阻与它的长度成正比，所以 \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\)，\(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\)。

示数的正负号表明应朝哪个方向改变 \(R_3\)。电压表的“+”插孔接在下面的节点上时，只要 \(R_3\) 太小，示数就是正的，因为这时下面节点的电势比上面节点高。\(R_3\) 太大时，示数为负。平衡点位于使示数符号相反的两个 \(R_3\) 值之间。每次二分都保留仍然包含平衡点的那一半，所以区间每一步缩小一半。

在平衡状态下测量是一种零示法。电表的刻度误差无关紧要，因为它只需要显示零；它的电阻也无关紧要，因为没有电流通过它。电压源的电压在平衡条件中被约去。测量的准确度取决于 \(R_1\)、\(R_2\) 和 \(R_3\) 的阻值知道得有多准，以及电表能检测出多小的不平衡，而电压源的电压越高，同样的不平衡产生的示数越大。用欧姆定律 \(R = U / I\) 测量时，结果带有两只电表的刻度误差，而且其中一只电表的示数总是多于属于 \(R_x\) 的部分：要么电压表包含了电流表上的电压，要么电流表包含了电压表的电流（参见实验电流表和电压表的接法）。电桥传统的指零仪器是零点在中央的检流计，一种测量微小电流的灵敏电表。在我们的实验台上，能分辨到微伏的电压表起同样的作用。

塞缪尔·亨特·克里斯蒂于 1833 年描述了这种电路，查尔斯·惠斯通于 1843 年使它广为人知。应变片电路和电阻温度计电路至今仍以非平衡方式使用电桥：电桥在参考状态下调到平衡，传感器作为其中一个桥臂，对角线上的电压随它电阻的微小变化而变化。

实验装置

“实验原理”中的电路图保留了实验台上的行和左右两侧：同样的两行，“+”在左，“−”在右。一个 5 V 电压源，内阻为 0.5 Ω，它的“+”极接左侧的母线，“−”极接右侧的母线。上面的分压器沿上面一行排列，\(R_1\) = 1 kΩ 靠近“+”，\(R_2\) = 1 kΩ 靠近“−”。下面的分压器沿下面一行排列，\(R_3\) = 1 kΩ 靠近“+”，未知电阻 \(R_x\) 靠近“−”。\(R_x\) 没有颜色线，选中它就会显示它的阻值，所以在第 4 步之前不要动它。\(R_3\) 充当电阻箱，以欧姆为单位设定：它的参数面板以 kΩ 打开，所以每次选中 \(R_3\) 时都要在单位列表中选择 Ω。示数约为 −2.5 V，说明数值是按 kΩ 输入的。电压表接在对角线上，它的“+”插孔接在 \(R_3\) 和 \(R_x\) 之间的母线上，“−”插孔接在 \(R_1\) 和 \(R_2\) 之间的母线上。正的示数在屏幕上不显示符号。

实验步骤

1. 记下电压表的示数及其符号。
2. 把 \(R_3\) 设为 2000 Ω，记下示数及其符号。
3. 如果 1000 Ω 和 2000 Ω 时的示数符号相反，平衡点就在两者之间。把 \(R_3\) 设为区间的中点，保留两端示数符号相反的那一半。重复这样做，取到整欧姆，直到区间两端相差 1 Ω，并把每个 \(R_3\) 值及其示数记录在表格中。记下示数更接近零的那个 \(R_3\) 值。
4. 计算 \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\)。选中 \(R_x\)，读出它的标称值，并与计算结果比较。
5. 保持 \(R_3\) 在平衡值不变，把电压源的电压升高到 10 V，记下示数。然后把 \(R_3\) 设为比平衡值大 1 Ω，把示数与第 3 步中 5 V 时的示数比较。把 \(R_3\) 调回平衡值，把电压源调回 5 V。
6. 把 \(R_1\) 设为 2 kΩ。根据第 4 步求出的 \(R_x\)，预测现在使电桥平衡的 \(R_3\) 值。把 \(R_3\) 设为预测值，检查比它大 1 Ω 和小 1 Ω 时的示数符号相反。

预期结果

\(R_3\) = 1000 Ω 时，电压表显示约 227 mV，是正的示数。2000 Ω 时显示约 −625 mV：\(R_3\) 已经越过了平衡点。二分区间后，1500 Ω 时为 −278 mV，1250 Ω 时为 −51 mV，1125 Ω 时为 81 mV，大约设定十次后，区间落在 1200 Ω 与 1201 Ω 之间。1200 Ω 时示数约为 18 µV，1201 Ω 时为 −1.02 mV，所以 \(R_3\) = 1200 Ω，\(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω，正是 \(R_x\) 的标称值。示数达不到精确的零，因为电缆（每根约 0.02 Ω）给各桥臂增加的电阻不相等。

在 10 V 时电桥仍然平衡，示数约为 36 µV，尽管两个节点的电势都升高到了 5.0 V。1201 Ω 时示数约为 −2.05 mV，是 5 V 时 −1.02 mV 的两倍：平衡点没有移动，但较高的电源电压使指零更灵敏。

\(R_1\) = 2 kΩ 时，电桥在 \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω 处平衡，与预测相符：\(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω。2399 Ω 时示数约为 0.46 mV，2401 Ω 时约为 −0.46 mV。现在 \(R_3\) 改变 1 Ω 相当于 \(R_x\) 改变 0.5 Ω，所以同一个电阻箱测量 \(R_x\) 的精细程度提高了一倍。

问题

1. 用分压公式计算 \(R_3\) = 1000 Ω 和 2000 Ω 时电压表的示数，并与第 1 步和第 2 步的示数比较。
2. 根据第 3 步中最后一个 1 Ω 区间两端的示数，用线性插值求出示数为零时的 \(R_3\) 值，精确到十分之一欧姆。如果一个真实电桥的 \(R_1\)、\(R_2\) 和 \(R_3\) 的允许误差都是 0.1%，\(R_x\) 的不确定度是多少？
3. \(R_x\) 是一个应变片，电桥像第 3 步结束时那样处于平衡。应变片被拉伸，它的电阻增加了 1 Ω。电压表显示什么？为什么应变片电路要使用电桥，而不是只用一只电压表测量应变片两端的电压？

答案

1. 对任何 \(R_3\)，上面节点的电势都是 5 V × 1000 / 2000 = 2.500 V。\(R_3\) = 1000 Ω 时，下面节点的电势为 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2.727 V，电压表显示 2.727 − 2.500 ≈ 0.227 V。2000 Ω 时，下面节点的电势为 5 V × 1200 / 3200 = 1.875 V，示数为 1.875 − 2.500 = −0.625 V。计算值与示数相差不到 1 mV。这一差异主要来自电压源 0.5 Ω 的内阻，其次来自电压表的 10 MΩ 和电缆。
2. 1200 Ω 时示数约为 18 µV，1201 Ω 时约为 −1.02 mV，所以每欧姆下降约 1.04 mV。零点位于从 1200 Ω 到 1201 Ω 的 0.018 / 1.04 ≈ 0.02 处，即 \(R_3\) ≈ 1200.0 Ω。电表能在电阻箱的一个步长之内充分定出零点，所以限制结果的是 1 Ω 的步长：1 Ω 在 1200 Ω 中占不到 0.1%。在真实电桥中，三个电阻的百分比不确定度在 \(R_3 \cdot R_2 / R_1\) 中相加，\(R_x\) 的不确定度可达 0.3%。
3. 在平衡点附近，变化 \(\Delta R_x\) 使示数改变 \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\)：5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1.04 mV，是正的示数。只测应变片两端时，同样的 1 Ω 会使约 2.5 V 的电压改变约 1 mV，要读出这一变化，需要一只能分辨其示数 0.04% 的电表，而且电压源的漂移不能有这么大。电桥减去了恒定的 2.5 V：变化从零开始，可以用灵敏的量程显示，电压源电压的漂移也不会使零点移动。