Wheatstonesche Messbrücke

Lehrpläne: A-level (extension), Sek II

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Ziel

Gleichen Sie eine Wheatstonesche Messbrücke ab und bestimmen Sie mit einer Nullmethode einen unbekannten Widerstand aus drei bekannten.

Theorie

Eine Wheatstonesche Messbrücke besteht aus zwei Spannungsteilern an derselben Quelle. Im oberen Teiler fließt der Strom durch \(R_1\) und dann durch \(R_2\), im unteren durch \(R_3\) und dann durch \(R_x\). Jeder der vier Widerstände ist ein Zweig der Brücke. Gegenüber dem Pol „−“ der Quelle liegt der Knotenpunkt des oberen Teilers auf dem Potential \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\), der des unteren auf \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) (siehe den Versuch Spannungsteiler mit Potentiometer). Ein Voltmeter zwischen den beiden Knotenpunkten bildet die Brückendiagonale und zeigt die Potentialdifferenz zwischen ihnen.

Die Brücke ist abgeglichen, wenn beide Knotenpunkte auf demselben Potential liegen: Das Voltmeter zeigt null, und durch die Diagonale fließt kein Strom. Gleiche Potentiale bedeuten \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\). Kehrt man beide Brüche um und zieht auf jeder Seite 1 ab, erhält man die Abgleichbedingung \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\); der unbekannte Widerstand ist also \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). In der Form \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\) besagt die Bedingung, dass die Produkte gegenüberliegender Zweige gleich sind: \(R_1\) und \(R_x\) auf der einen Seite, \(R_2\) und \(R_3\) auf der anderen.

\(R_1\) und \(R_2\) sind die Verhältniszweige, \(R_3\) ist der veränderliche Zweig. Im Schullabor ist \(R_3\) eine Widerstandsdekade: Präzisionswiderstände, die mit je einem Drehschalter für Einer, Zehner, Hunderter und Tausender Ohm gewählt werden. Die Verhältniszweige legen den Messbereich und die Auflösung der Brücke fest. Bei \(R_1 / R_2\) = 10 ist die Brücke bei einem \(R_3\) abgeglichen, das zehnmal so groß ist wie \(R_x\), daher bestimmt eine Dekade mit Schritten von ganzen Ohm \(R_x\) auf ein Zehntel Ohm genau. Bei \(R_1 / R_2\) = 1/10 misst dieselbe Dekade Widerstände, die zehnmal so groß sind wie ihr eigener Bereich. In einer Schleifdrahtbrücke sind die Verhältniszweige die beiden Teile eines gleichmäßigen Drahts, die ein Schleifkontakt trennt. Der Widerstand eines Drahts ist proportional zu seiner Länge, daher gilt \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) und \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\).

Das Vorzeichen des Messwerts zeigt, in welche Richtung \(R_3\) zu verändern ist. Liegt die Buchse „+“ des Voltmeters am unteren Knotenpunkt, ist der Messwert positiv, solange \(R_3\) zu klein ist, denn dann liegt der untere Knotenpunkt auf einem höheren Potential als der obere. Ist \(R_3\) zu groß, ist der Messwert negativ. Der Abgleichpunkt liegt zwischen zwei Werten von \(R_3\), die Messwerte mit entgegengesetztem Vorzeichen ergeben. Jede Halbierung behält die Hälfte, die den Abgleichpunkt noch enthält, sodass das Intervall mit jedem Schritt auf die Hälfte schrumpft.

Die Messung im Abgleich ist eine Nullmethode. Der Skalenfehler des Messgeräts spielt keine Rolle, weil es nur null zeigen muss, und sein Widerstand spielt keine Rolle, weil kein Strom hindurchfließt. Die Spannung der Quelle kürzt sich aus der Abgleichbedingung heraus. Die Genauigkeit hängt davon ab, wie genau \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\) bekannt sind und wie kleine Verstimmungen das Messgerät noch erkennt, und eine Verstimmung ergibt bei höherer Spannung der Quelle einen größeren Messwert. Eine Messung nach dem ohmschen Gesetz, \(R = U / I\), enthält die Skalenfehler zweier Messgeräte, und eines von ihnen zeigt immer mehr an, als zu \(R_x\) gehört: Entweder schließt das Voltmeter die Spannung am Amperemeter ein, oder das Amperemeter schließt den Strom des Voltmeters ein (siehe den Versuch Anschluss von Amperemeter und Voltmeter). Der klassische Nullindikator einer Brücke ist ein Galvanometer mit dem Nullpunkt in der Skalenmitte, ein empfindliches Messgerät für kleine Ströme. In unserem Aufbau erfüllt ein Voltmeter, das bis zu Mikrovolt auflöst, dieselbe Aufgabe.

Samuel Hunter Christie beschrieb die Schaltung 1833, und Charles Wheatstone machte sie 1843 weithin bekannt. Schaltungen mit Dehnungsmessstreifen und Widerstandsthermometern nutzen die Brücke bis heute als Ausschlagbrücke: Die Brücke wird in einem Bezugszustand abgeglichen, der Sensor bildet einen Zweig, und die Spannung an der Diagonale folgt kleinen Änderungen seines Widerstands.

Aufbau

Das Schaltbild unter „Theorie“ übernimmt die Reihen und Seiten des Aufbaus: dieselben zwei Reihen, „+“ links und „−“ rechts. Eine Spannungsquelle mit 5 V und einem Innenwiderstand von 0,5 Ω, ihr „+“ an den Sammelschienen links und ihr „−“ an den Sammelschienen rechts. Der obere Teiler verläuft entlang der oberen Reihe, mit \(R_1\) = 1 kΩ neben „+“ und \(R_2\) = 1 kΩ neben „−“. Der untere Teiler verläuft entlang der unteren Reihe, mit \(R_3\) = 1 kΩ neben „+“ und dem unbekannten Widerstand \(R_x\) neben „−“. \(R_x\) hat keine Farbringe, und wenn Sie ihn auswählen, sehen Sie seinen Wert; lassen Sie ihn daher bis Schritt 4 unberührt. \(R_3\) dient als Widerstandsdekade und wird in Ohm eingestellt: Seine Parameterkarte öffnet sich in kΩ, wählen Sie daher jedes Mal, wenn Sie \(R_3\) auswählen, Ω in der Einheitenliste. Ein Messwert um −2,5 V bedeutet, dass der Wert in kΩ eingegeben wurde. Das Voltmeter liegt in der Diagonale, seine Buchse „+“ an der Sammelschiene zwischen \(R_3\) und \(R_x\) und seine Buchse „−“ an der Sammelschiene zwischen \(R_1\) und \(R_2\). Ein positiver Messwert erscheint in der Anzeige ohne Vorzeichen.

Durchführung

1. Notieren Sie den Messwert des Voltmeters und sein Vorzeichen.
2. Stellen Sie \(R_3\) auf 2000 Ω und notieren Sie den Messwert und sein Vorzeichen.
3. Haben die Messwerte bei 1000 Ω und 2000 Ω entgegengesetzte Vorzeichen, liegt der Abgleichpunkt dazwischen. Stellen Sie \(R_3\) auf die Mitte des Intervalls und behalten Sie die Hälfte, deren Enden Messwerte mit entgegengesetztem Vorzeichen ergeben. Wiederholen Sie das, auf ganze Ohm gerundet, bis die Enden 1 Ω auseinanderliegen, und tragen Sie jeden Wert von \(R_3\) mit seinem Messwert in eine Tabelle ein. Notieren Sie den Wert von \(R_3\), dessen Messwert näher an null liegt.
4. Berechnen Sie \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Wählen Sie \(R_x\) aus, lesen Sie seinen Nennwert ab und vergleichen Sie ihn mit dem Ergebnis.
5. Lassen Sie \(R_3\) im Abgleich, erhöhen Sie die Spannung der Quelle auf 10 V und notieren Sie den Messwert. Stellen Sie dann \(R_3\) 1 Ω über den Abgleichwert und vergleichen Sie den Messwert mit dem bei 5 V aus Schritt 3. Stellen Sie \(R_3\) wieder auf den Abgleichwert und die Quelle wieder auf 5 V.
6. Stellen Sie \(R_1\) auf 2 kΩ. Sagen Sie aus dem in Schritt 4 bestimmten \(R_x\) den Wert von \(R_3\) voraus, bei dem die Brücke jetzt abgeglichen ist. Stellen Sie \(R_3\) auf den vorhergesagten Wert und prüfen Sie, dass die Messwerte 1 Ω darüber und 1 Ω darunter entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Erwartetes Ergebnis

Bei \(R_3\) = 1000 Ω zeigt das Voltmeter etwa 227 mV, einen positiven Messwert. Bei 2000 Ω zeigt es etwa −625 mV: \(R_3\) hat den Abgleichpunkt überschritten. Die Halbierung des Intervalls ergibt −278 mV bei 1500 Ω, −51 mV bei 1250 Ω und 81 mV bei 1125 Ω und endet nach etwa zehn Einstellungen zwischen 1200 Ω und 1201 Ω. Der Messwert beträgt etwa 18 µV bei 1200 Ω und −1,02 mV bei 1201 Ω, also ist \(R_3\) = 1200 Ω und \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω, der Nennwert von \(R_x\). Der Messwert erreicht nicht genau null, weil die Kabel mit je etwa 0,02 Ω ungleich zu den Zweigen hinzukommen.

Bei 10 V bleibt die Brücke abgeglichen, und der Messwert beträgt etwa 36 µV, obwohl beide Knotenpunkte auf 5,0 V gestiegen sind. Bei 1201 Ω beträgt der Messwert etwa −2,05 mV, doppelt so viel wie die −1,02 mV bei 5 V: Der Abgleichpunkt verschiebt sich nicht, aber eine höhere Spannung der Quelle macht die Nullstelle schärfer.

Bei \(R_1\) = 2 kΩ ist die Brücke bei \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω abgeglichen, wie vorhergesagt: \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω. Die Messwerte betragen etwa 0,46 mV bei 2399 Ω und −0,46 mV bei 2401 Ω. Eine Änderung von \(R_3\) um 1 Ω entspricht jetzt 0,5 Ω von \(R_x\), daher misst dieselbe Dekade \(R_x\) doppelt so fein.

Fragen

1. Berechnen Sie die Messwerte des Voltmeters bei \(R_3\) = 1000 Ω und 2000 Ω mit der Formel des Spannungsteilers und vergleichen Sie sie mit den Messwerten aus Schritt 1 und 2.
2. Bestimmen Sie aus den Messwerten an den beiden Enden Ihres letzten 1-Ω-Intervalls aus Schritt 3 durch lineare Interpolation auf ein Zehntel Ohm genau den Wert von \(R_3\), bei dem der Messwert null wäre. Wenn \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\) einer realen Brücke jeweils eine Toleranz von 0,1 % haben, wie groß ist die Unsicherheit von \(R_x\)?
3. \(R_x\) ist ein Dehnungsmessstreifen, und die Brücke ist wie am Ende von Schritt 3 abgeglichen. Der Messstreifen wird gedehnt, und sein Widerstand steigt um 1 Ω. Was zeigt das Voltmeter, und warum verwendet eine Schaltung mit Dehnungsmessstreifen die Brücke statt eines Voltmeters allein am Messstreifen?

Antworten

1. Der obere Knotenpunkt liegt bei jedem \(R_3\) auf 5 V × 1000 / 2000 = 2,500 V. Bei \(R_3\) = 1000 Ω liegt der untere auf 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2,727 V, und das Voltmeter zeigt 2,727 − 2,500 ≈ 0,227 V. Bei 2000 Ω liegt der untere Knotenpunkt auf 5 V × 1200 / 3200 = 1,875 V, und der Messwert beträgt 1,875 − 2,500 = −0,625 V. Die berechneten Werte weichen um weniger als 1 mV von den Messwerten ab. Die Abweichung kommt hauptsächlich vom Innenwiderstand der Quelle von 0,5 Ω und in geringerem Maß von den 10 MΩ des Voltmeters und den Kabeln.
2. Der Messwert beträgt etwa 18 µV bei 1200 Ω und −1,02 mV bei 1201 Ω, er fällt also um etwa 1,04 mV pro Ohm. Null liegt bei 0,018 / 1,04 ≈ 0,02 des Wegs von 1200 Ω nach 1201 Ω, bei \(R_3\) ≈ 1200,0 Ω. Das Messgerät findet die Nullstelle weit innerhalb eines Schritts der Dekade, daher begrenzen die Schritte von 1 Ω das Ergebnis: 1 Ω von 1200 Ω sind weniger als 0,1 %. In einer realen Brücke addieren sich die prozentualen Unsicherheiten der drei Widerstände in \(R_3 \cdot R_2 / R_1\), und die Unsicherheit von \(R_x\) kann 0,3 % erreichen.
3. Nahe dem Abgleich ändert eine Änderung \(\Delta R_x\) den Messwert um \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\): 5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1,04 mV, ein positiver Messwert. Am Messstreifen allein würde dasselbe 1 Ω eine Spannung von etwa 2,5 V um etwa 1 mV ändern, und um das abzulesen, bräuchte man ein Messgerät, das 0,04 % seines Messwerts auflöst, und eine Quelle, die nicht um ebenso viel driftet. Die Brücke zieht die konstanten 2,5 V ab: Die Änderung beginnt bei null, ein empfindlicher Messbereich zeigt sie an, und eine Drift der Spannung der Quelle verschiebt den Nullpunkt nicht.