휘트스톤 브리지

교육과정: A-level (extension), Sek II

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목표

휘트스톤 브리지를 평형으로 맞추고, 영위법으로 세 개의 알려진 저항으로부터 미지의 저항을 구합니다.

실험 원리

휘트스톤 브리지는 같은 전압원에 연결된 두 개의 전압 분배기입니다. 위쪽 분배기에서는 전류가 \(R_1\)을 지나 \(R_2\)로 흐르고, 아래쪽 분배기에서는 \(R_3\)을 지나 \(R_x\)로 흐릅니다. 네 저항은 각각 브리지의 한 변입니다. 전압원의 “−” 단자를 기준으로 위쪽 분배기의 접속점은 \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\)의 전위에, 아래쪽 분배기의 접속점은 \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\)의 전위에 있습니다(전위차계를 이용한 전압 분배 실험 참고). 두 접속점 사이에 연결한 전압계는 브리지의 대각선을 이루며, 두 접속점 사이의 전위차를 표시합니다.

두 접속점의 전위가 같을 때 브리지는 평형을 이룹니다. 전압계는 0을 표시하고, 대각선에는 전류가 흐르지 않습니다. 전위가 같다는 것은 \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\)라는 뜻입니다. 두 분수를 모두 뒤집고 양변에서 1을 빼면 평형 조건 \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\)가 나오므로, 미지의 저항은 \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\)입니다. \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\)으로 쓰면, 이 조건은 마주 보는 변의 곱이 같다는 뜻입니다. 한쪽은 \(R_1\)과 \(R_x\), 다른 쪽은 \(R_2\)와 \(R_3\)입니다.

\(R_1\)과 \(R_2\)는 비례변이고, \(R_3\)은 가변변입니다. 학교 실험실에서 \(R_3\)은 저항 상자입니다. 옴 단위의 일, 십, 백, 천의 자리마다 다이얼이 하나씩 있어 이것으로 정밀 저항을 고릅니다. 비례변은 브리지의 측정 범위와 분해능을 정합니다. \(R_1 / R_2\) = 10이면 \(R_3\)은 \(R_x\)의 열 배에서 평형을 이루므로, 1 Ω 단위로 바뀌는 저항 상자로 \(R_x\)를 10분의 1옴까지 구할 수 있습니다. \(R_1 / R_2\) = 1/10이면 같은 저항 상자로 자기 범위보다 열 배 큰 저항을 측정할 수 있습니다. 미터 브리지에서 비례변은 하나의 균일한 저항선을 미끄럼 접점으로 나눈 두 부분입니다. 저항선의 저항은 길이에 비례하므로 \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\)이고 \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\)입니다.

측정값의 부호는 \(R_3\)을 어느 쪽으로 바꿔야 하는지 알려 줍니다. 전압계의 “+” 소켓을 아래쪽 접속점에 연결하면, \(R_3\)이 너무 작은 동안에는 측정값이 양수입니다. 이때 아래쪽 접속점의 전위가 위쪽보다 높기 때문입니다. \(R_3\)이 너무 크면 측정값은 음수입니다. 평형점은 부호가 반대인 측정값을 주는 두 \(R_3\) 값 사이에 있습니다. 구간을 반으로 나눌 때마다 평형점이 아직 들어 있는 절반을 남기므로, 구간은 단계마다 절반으로 줄어듭니다.

평형에서 측정하는 것은 영위법입니다. 계기의 눈금 오차는 문제가 되지 않습니다. 0만 표시하면 되기 때문입니다. 계기의 저항도 문제가 되지 않습니다. 계기에 전류가 흐르지 않기 때문입니다. 전압원의 전압은 평형 조건에서 약분되어 사라집니다. 정확도는 \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\)을 얼마나 정확히 알고 있는지와 계기가 얼마나 작은 불평형을 검출할 수 있는지에 달려 있으며, 같은 불평형도 전압원의 전압이 높을수록 더 큰 측정값을 줍니다. 옴의 법칙 \(R = U / I\)를 이용한 측정에는 두 계기의 눈금 오차가 담기고, 둘 중 하나는 언제나 \(R_x\)의 몫보다 많은 값을 표시합니다. 전압계가 전류계에 걸리는 전압까지 포함하거나, 전류계가 전압계의 전류까지 포함합니다(전류계와 전압계 연결 실험 참고). 브리지의 전통적인 검출기는 영점이 가운데 있는 검류계로, 작은 전류를 재는 감도 높은 계기입니다. 우리 실험 장치에서는 마이크로볼트까지 읽는 전압계가 같은 역할을 합니다.

새뮤얼 헌터 크리스티가 1833년에 이 회로를 기술했고, 찰스 휘트스톤이 1843년에 이를 널리 알렸습니다. 스트레인 게이지와 저항 온도계 회로는 지금도 브리지를 편위법으로 사용합니다. 기준 상태에서 브리지를 평형으로 맞추고, 센서가 한 변을 이루며, 대각선 양단의 전압이 센서 저항의 작은 변화를 따라갑니다.

실험 장치

“실험 원리”의 회로도는 실험 장치의 줄과 좌우를 그대로 유지합니다. 같은 두 줄이 있고, “+”는 왼쪽, “−”는 오른쪽입니다. 내부 저항이 0.5 Ω인 5 V 전압원이 있으며, “+”는 왼쪽 버스에, “−”는 오른쪽 버스에 연결되어 있습니다. 위쪽 분배기는 윗줄을 따라 있으며, “+” 쪽에 \(R_1\) = 1 kΩ, “−” 쪽에 \(R_2\) = 1 kΩ이 있습니다. 아래쪽 분배기는 아랫줄을 따라 있으며, “+” 쪽에 \(R_3\) = 1 kΩ, “−” 쪽에 미지의 저항 \(R_x\)가 있습니다. \(R_x\)에는 색 선이 없고, 선택하면 값이 표시되므로 4단계까지는 건드리지 마세요. \(R_3\)은 저항 상자 역할을 하며 옴 단위로 설정합니다. 매개변수 카드는 kΩ으로 열리므로, \(R_3\)을 선택할 때마다 단위 목록에서 Ω을 고르세요. 측정값이 −2.5 V 가까이 나오면 값이 kΩ으로 입력된 것입니다. 전압계는 대각선에 있으며, “+” 소켓은 \(R_3\)과 \(R_x\) 사이의 버스에, “−” 소켓은 \(R_1\)과 \(R_2\) 사이의 버스에 연결되어 있습니다. 양수 측정값은 화면에 부호 없이 표시됩니다.

실험 방법

1. 전압계의 측정값과 그 부호를 기록하세요.
2. \(R_3\)을 2000 Ω으로 설정하고 측정값과 그 부호를 기록하세요.
3. 1000 Ω과 2000 Ω에서의 측정값 부호가 반대이면 평형점은 그 사이에 있습니다. \(R_3\)을 구간의 가운데 값으로 설정하고, 양 끝의 측정값 부호가 반대인 절반을 남기세요. 정수 옴으로 반올림하면서 양 끝의 차이가 1 Ω이 될 때까지 반복하고, \(R_3\)의 각 값과 그 측정값을 표에 기록하세요. 측정값이 0에 더 가까운 \(R_3\) 값을 기록하세요.
4. \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\)을 계산하세요. \(R_x\)를 선택해 공칭값을 읽고 결과와 비교하세요.
5. \(R_3\)을 평형값에 둔 채 전압원의 전압을 10 V로 올리고 측정값을 기록하세요. 그다음 \(R_3\)을 평형값보다 1 Ω 크게 설정하고, 측정값을 3단계의 5 V일 때의 측정값과 비교하세요. \(R_3\)을 평형값으로, 전압원을 5 V로 되돌리세요.
6. \(R_1\)을 2 kΩ으로 설정하세요. 4단계에서 구한 \(R_x\)로부터 이제 브리지를 평형으로 만드는 \(R_3\) 값을 예측하세요. \(R_3\)을 예측값으로 설정하고, 그보다 1 Ω 높을 때와 1 Ω 낮을 때 측정값의 부호가 반대인지 확인하세요.

예상 결과

\(R_3\) = 1000 Ω일 때 전압계는 약 227 mV를 표시하며, 이는 양수 측정값입니다. 2000 Ω에서는 약 −625 mV를 표시합니다. \(R_3\)이 평형점을 지나친 것입니다. 구간을 반으로 나누면 1500 Ω에서 −278 mV, 1250 Ω에서 −51 mV, 1125 Ω에서 81 mV가 되고, 열 번 정도 설정하면 1200 Ω과 1201 Ω 사이에 이릅니다. 측정값은 1200 Ω에서 약 18 µV, 1201 Ω에서 −1.02 mV이므로 \(R_3\) = 1200 Ω이고 \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω으로, \(R_x\)의 공칭값과 같습니다. 측정값이 정확히 0이 되지 않는 것은 각각 약 0.02 Ω인 케이블이 각 변에 고르지 않게 더해지기 때문입니다.

10 V에서도 브리지는 평형을 유지하며, 두 접속점이 모두 5.0 V로 올라갔는데도 측정값은 약 36 µV입니다. 1201 Ω에서 측정값은 약 −2.05 mV로, 5 V일 때의 −1.02 mV의 두 배입니다. 평형점은 움직이지 않지만, 전압원의 전압이 높을수록 영점이 더 날카로워집니다.

\(R_1\) = 2 kΩ이면 예측대로 브리지는 \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω에서 평형을 이룹니다. \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω입니다. 측정값은 2399 Ω에서 약 0.46 mV, 2401 Ω에서 약 −0.46 mV입니다. 이제 \(R_3\)의 1 Ω 변화는 \(R_x\)의 0.5 Ω에 해당하므로, 같은 저항 상자로 \(R_x\)를 두 배 더 세밀하게 측정합니다.

질문

1. 분배기 공식으로 \(R_3\) = 1000 Ω과 2000 Ω일 때의 전압계 측정값을 계산하고, 1단계와 2단계의 측정값과 비교하세요.
2. 3단계의 마지막 1 Ω 구간 양 끝의 측정값으로부터, 측정값이 0이 될 \(R_3\) 값을 선형 보간으로 10분의 1옴까지 구하세요. 실제 브리지의 \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\)의 허용 오차가 각각 0.1%라면 \(R_x\)의 불확도는 얼마입니까?
3. \(R_x\)가 스트레인 게이지이고, 브리지는 3단계 끝에서처럼 평형 상태입니다. 게이지가 늘어나 저항이 1 Ω 증가합니다. 전압계는 무엇을 표시합니까? 그리고 스트레인 게이지 회로에서 게이지에만 전압계를 연결하지 않고 브리지를 사용하는 이유는 무엇입니까?

답

1. 위쪽 접속점은 \(R_3\)에 관계없이 5 V × 1000 / 2000 = 2.500 V입니다. \(R_3\) = 1000 Ω일 때 아래쪽 접속점은 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2.727 V이고, 전압계는 2.727 − 2.500 ≈ 0.227 V를 표시합니다. 2000 Ω에서 아래쪽 접속점은 5 V × 1200 / 3200 = 1.875 V이고, 측정값은 1.875 − 2.500 = −0.625 V입니다. 계산값과 측정값의 차이는 1 mV보다 작습니다. 이 차이는 주로 전압원의 0.5 Ω 내부 저항에서 오며, 전압계의 10 MΩ과 케이블의 영향은 그보다 작습니다.
2. 측정값은 1200 Ω에서 약 18 µV, 1201 Ω에서 −1.02 mV이므로 옴당 약 1.04 mV씩 떨어집니다. 0은 1200 Ω에서 1201 Ω 쪽으로 0.018 / 1.04 ≈ 0.02만큼 간 곳, 즉 \(R_3\) ≈ 1200.0 Ω에 있습니다. 계기는 저항 상자의 한 단계 안에서 영점을 충분히 찾아내므로, 결과를 제한하는 것은 1 Ω 단계입니다. 1200 Ω 중 1 Ω은 0.1%보다 작습니다. 실제 브리지에서는 \(R_3 \cdot R_2 / R_1\)에서 세 저항의 백분율 불확도가 더해지며, \(R_x\)의 불확도는 0.3%에 이를 수 있습니다.
3. 평형 근처에서 변화 \(\Delta R_x\)는 측정값을 \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\)만큼 바꿉니다. 5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1.04 mV이며, 양수 측정값입니다. 게이지에만 전압계를 연결하면 같은 1 Ω은 약 2.5 V의 전압을 약 1 mV 바꿀 뿐이며, 이를 읽으려면 측정값의 0.04%를 분해하는 계기와, 그만큼도 변동하지 않는 전압원이 필요합니다. 브리지는 일정한 2.5 V를 빼 줍니다. 변화가 0에서 시작하므로 감도 높은 측정 범위로 표시할 수 있고, 전압원 전압이 변동해도 영점이 움직이지 않습니다.