Міст Вітстона

Програми: A-level (extension), Sek II

Відкрити повну версію ↗

Мета

Зрівноважити міст Вітстона і знайти невідомий опір за трьома відомими нульовим методом.

Теорія

Міст Вітстона — це два подільники напруги, під’єднані до одного джерела. У верхньому подільнику струм тече через \(R_1\), а потім через \(R_2\); у нижньому — через \(R_3\), а потім через \(R_x\). Кожен із чотирьох резисторів — плече моста. Відносно «−» джерела вузол верхнього подільника має потенціал \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\), а вузол нижнього — \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) (див. дослід Подільник напруги на потенціометрі). Вольтметр, увімкнений між двома вузлами, утворює діагональ моста і показує різницю їхніх потенціалів.

Міст зрівноважений, коли обидва вузли мають однаковий потенціал: вольтметр показує нуль, і по діагоналі струм не тече. Рівність потенціалів означає \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\). Якщо перевернути обидва дроби і відняти 1 від кожної частини, вийде умова рівноваги \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\), звідки невідомий опір \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). У записі \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\) умова означає, що добутки опорів протилежних плечей рівні: \(R_1\) і \(R_x\) з одного боку, \(R_2\) і \(R_3\) — з іншого.

\(R_1\) і \(R_2\) — плечі відношення, \(R_3\) — регульоване плече. У шкільній лабораторії \(R_3\) — магазин опорів: точні резистори, які вибирають окремими перемикачами одиниць, десятків, сотень і тисяч омів. Плечі відношення задають діапазон і роздільну здатність моста. За \(R_1 / R_2\) = 10 рівновага настає за \(R_3\), у десять разів більшого за \(R_x\), тож магазин із кроком у цілий ом знаходить \(R_x\) з точністю до десятої частки ома. За \(R_1 / R_2\) = 1/10 той самий магазин вимірює опори, у десять разів більші за його власну межу. У мості з реохордом плечі відношення — дві частини одного однорідного дроту, розділені ковзним контактом. Опір дроту пропорційний його довжині, тому \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) і \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\).

Знак показання підказує, у який бік змінювати \(R_3\). Коли гніздо «+» вольтметра під’єднано до нижнього вузла, показання додатне, доки \(R_3\) замале, бо тоді нижній вузол має вищий потенціал, ніж верхній. Коли \(R_3\) завелике, показання від’ємне. Точка рівноваги лежить між двома значеннями \(R_3\), за яких показання мають протилежні знаки. Кожне ділення навпіл залишає ту половину, у якій ще лежить точка рівноваги, тож проміжок із кожним кроком скорочується вдвічі.

Вимірювання в стані рівноваги — нульовий метод. Похибка шкали приладу не має значення, бо він має лише показати нуль, і його опір не має значення, бо струм через нього не тече. Напруга джерела скорочується в умові рівноваги. Точність залежить від того, наскільки добре відомі \(R_1\), \(R_2\) і \(R_3\), і від того, наскільки малий розбаланс здатен помітити прилад, а той самий розбаланс дає більше показання за вищої напруги джерела. Вимірювання за законом Ома, \(R = U / I\), містить похибки шкал двох приладів, і один із них завжди показує більше, ніж припадає на \(R_x\): або вольтметр враховує й напругу на амперметрі, або амперметр — і струм вольтметра (див. дослід Вмикання амперметра і вольтметра). Класичний нуль-індикатор моста — гальванометр із нулем посередині шкали, чутливий прилад для вимірювання малих струмів. На нашій установці цю роль виконує вольтметр, який розрізняє навіть мікровольти.

Семюел Гантер Крісті описав цю схему 1833 року, а Чарлз Вітстон зробив її широко відомою 1843 року. У схемах із тензодатчиками й термометрами опору міст і досі використовують у неврівноваженому режимі: міст зрівноважують у вихідному стані, датчик утворює одне з плечей, а напруга на діагоналі відстежує малі зміни його опору.

Установка

Схема в розділі «Теорія» зберігає ряди і сторони установки: ті самі два ряди, «+» ліворуч і «−» праворуч. Джерело 5 В із внутрішнім опором 0,5 Ом, його «+» — на шинах ліворуч, «−» — на шинах праворуч. Верхній подільник іде верхнім рядом: \(R_1\) = 1 кОм біля «+» і \(R_2\) = 1 кОм біля «−». Нижній подільник іде нижнім рядом: \(R_3\) = 1 кОм біля «+» і невідомий резистор \(R_x\) біля «−». У \(R_x\) немає кольорових смужок, а виділення показує його значення, тому не чіпайте його до пункту 4. \(R_3\) виконує роль магазину опорів і задається в омах: його картка параметрів відкривається в кОм, тому щоразу, виділивши \(R_3\), вибирайте Ом у списку одиниць. Показання близько −2,5 В означає, що значення введено в кОм. Вольтметр увімкнено в діагональ: його гніздо «+» — на шині між \(R_3\) і \(R_x\), гніздо «−» — на шині між \(R_1\) і \(R_2\). Додатне показання виводиться на екран без знака.

Хід роботи

1. Запишіть показання вольтметра і його знак.
2. Установіть \(R_3\) рівним 2000 Ом і запишіть показання і його знак.
3. Якщо показання за 1000 Ом і 2000 Ом мають протилежні знаки, точка рівноваги лежить між ними. Установіть \(R_3\) рівним середині проміжку і залиште ту половину, на кінцях якої показання мають протилежні знаки. Повторюйте, округлюючи до цілих омів, доки кінці проміжку не відрізнятимуться на 1 Ом, і записуйте кожне значення \(R_3\) з його показанням у таблицю. Запишіть те значення \(R_3\), за якого показання ближче до нуля.
4. Обчисліть \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Виділіть \(R_x\), щоб дізнатися його номінальне значення, і порівняйте його з результатом.
5. Залишивши \(R_3\) у стані рівноваги, підніміть напругу джерела до 10 В і запишіть показання. Потім установіть \(R_3\) на 1 Ом більшим за значення рівноваги і порівняйте показання з показанням за 5 В з пункту 3. Поверніть \(R_3\) значення рівноваги, а джерелу — напругу 5 В.
6. Установіть \(R_1\) рівним 2 кОм. За \(R_x\), знайденим у пункті 4, передбачте, за якого значення \(R_3\) міст тепер зрівноважиться. Установіть \(R_3\) рівним передбаченому значенню і перевірте, що за 1 Ом вище і нижче від нього показання мають протилежні знаки.

Очікуваний результат

За \(R_3\) = 1000 Ом вольтметр показує близько 227 мВ, додатне показання. За 2000 Ом він показує близько −625 мВ: \(R_3\) перейшов через точку рівноваги. Ділення проміжку навпіл дає −278 мВ за 1500 Ом, −51 мВ за 1250 Ом і 81 мВ за 1125 Ом і приблизно після десяти встановлень закінчується між 1200 Ом і 1201 Ом. Показання близько 18 мкВ за 1200 Ом і −1,02 мВ за 1201 Ом, отже, \(R_3\) = 1200 Ом і \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ом, це номінальне значення \(R_x\). Точно нуля показання не досягає, бо кабелі, близько 0,02 Ом кожен, додаються до плечей неоднаково.

За 10 В міст залишається зрівноваженим, і показання близько 36 мкВ, хоча потенціали обох вузлів зросли до 5,0 В. За 1201 Ом показання близько −2,05 мВ, удвічі більше за −1,02 мВ за 5 В: точка рівноваги не зсувається, але вища напруга джерела робить нуль чіткішим.

За \(R_1\) = 2 кОм міст зрівноважується за \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ом, як і передбачено: \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ом. Показання близько 0,46 мВ за 2399 Ом і −0,46 мВ за 2401 Ом. Зміна \(R_3\) на 1 Ом тепер відповідає 0,5 Ом \(R_x\), тож той самий магазин вимірює \(R_x\) удвічі точніше.

Запитання

1. Обчисліть за формулою подільника показання вольтметра за \(R_3\) = 1000 Ом і 2000 Ом і порівняйте їх із показаннями з пунктів 1 і 2.
2. За показаннями на двох кінцях вашого останнього проміжку в 1 Ом з пункту 3 знайдіть лінійною інтерполяцією, з точністю до десятої частки ома, значення \(R_3\), за якого показання дорівнювало б нулю. Якщо \(R_1\), \(R_2\) і \(R_3\) справжнього моста мають допуск 0,1% кожен, якою є похибка \(R_x\)?
3. \(R_x\) — тензодатчик, і міст зрівноважено, як наприкінці пункту 3. Датчик розтягують, і його опір збільшується на 1 Ом. Що покаже вольтметр і чому в схемі з тензодатчиком використовують міст, а не вольтметр на самому датчику?

Відповіді

1. Верхній вузол за будь-якого \(R_3\) має потенціал 5 В × 1000 / 2000 = 2,500 В. За \(R_3\) = 1000 Ом нижній вузол має потенціал 5 В × 1200 / 2200 ≈ 2,727 В, і вольтметр показує 2,727 − 2,500 ≈ 0,227 В. За 2000 Ом нижній вузол має потенціал 5 В × 1200 / 3200 = 1,875 В, і показання 1,875 − 2,500 = −0,625 В. Обчислені значення відрізняються від показань менш ніж на 1 мВ. Різниця зумовлена головно внутрішнім опором джерела 0,5 Ом, а меншою мірою — 10 МОм вольтметра і кабелями.
2. Показання близько 18 мкВ за 1200 Ом і −1,02 мВ за 1201 Ом, тобто воно спадає приблизно на 1,04 мВ на ом. Нуль лежить на 0,018 / 1,04 ≈ 0,02 шляху від 1200 Ом до 1201 Ом, за \(R_3\) ≈ 1200,0 Ом. Прилад знаходить нуль із запасом у межах одного кроку магазину, тож результат обмежує крок 1 Ом: 1 Ом від 1200 Ом — менше ніж 0,1%. У справжньому мості відносні похибки трьох резисторів у \(R_3 \cdot R_2 / R_1\) додаються, і похибка \(R_x\) може сягати 0,3%.
3. Поблизу рівноваги зміна \(\Delta R_x\) змінює показання на \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\): 5 В × 1200 / 2400² × 1 Ом ≈ 1,04 мВ, додатне показання. На самому датчику той самий 1 Ом змінив би напругу близько 2,5 В приблизно на 1 мВ, і для такого вимірювання потрібен прилад, що розрізняє 0,04% свого показання, і джерело, яке не дрейфує на стільки ж. Міст віднімає сталі 2,5 В: зміна починається від нуля, її показує чутлива межа вимірювання, а дрейф напруги джерела не зсуває нуль.