Wheatstone köprüsü

Öğretim programları: A-level (extension), Sek II

Tam sürümü aç ↗

Amaç

Bir Wheatstone köprüsünü dengelemek ve bilinmeyen bir direnci bilinen üç dirençten sıfır yöntemiyle bulmak.

Teorik bilgi

Wheatstone köprüsü, aynı kaynağa bağlanmış iki gerilim bölücüdür. Üst bölücüde akım önce \(R_1\)'den, sonra \(R_2\)'den geçer; alttakinde önce \(R_3\)'ten, sonra \(R_x\)'ten. Dört direncin her biri köprünün bir koludur. Kaynağın “−” ucuna göre üst bölücünün düğüm noktası \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\), alttakininki ise \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) potansiyelindedir (Potansiyometreli gerilim bölücü deneyine bakın). İki düğüm noktası arasına bağlanan voltmetre köprünün köşegenini oluşturur ve aralarındaki potansiyel farkını gösterir.

İki düğüm noktası aynı potansiyelde olduğunda köprü dengededir: voltmetre sıfır gösterir ve köşegen boyunca akım geçmez. Potansiyellerin eşit olması \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\) demektir. İki kesri ters çevirip her iki taraftan 1 çıkarınca \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\) denge koşulu elde edilir; buna göre bilinmeyen direnç \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\) olur. \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\) biçiminde yazılan koşul, karşılıklı kolların çarpımlarının eşit olduğunu söyler: bir yanda \(R_1\) ve \(R_x\), öbür yanda \(R_2\) ve \(R_3\).

\(R_1\) ve \(R_2\) oran kollarıdır, \(R_3\) ise ayarlı koldur. Okul laboratuvarında \(R_3\) bir direnç kutusudur: ohmun birler, onlar, yüzler ve binler basamağı için birer kadranla seçilen hassas dirençler. Oran kolları köprünün ölçüm aralığını ve çözünürlüğünü belirler. \(R_1 / R_2\) = 10 olduğunda \(R_3\), \(R_x\)'in on katında dengeye gelir; bu yüzden tam ohm adımlarıyla değişen bir kutu \(R_x\)'i ohmun onda biri duyarlıkla bulur. \(R_1 / R_2\) = 1/10 olduğunda aynı kutu kendi aralığından on kat büyük dirençleri ölçer. Telli köprüde oran kolları, kayar bir kontakla ikiye ayrılan tek bir düzgün telin iki parçasıdır. Bir telin direnci uzunluğuyla orantılıdır; bu yüzden \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) ve \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\) olur.

Gösterilen değerin işareti \(R_3\)'ün hangi yönde değiştirileceğini söyler. Voltmetrenin “+” soketi alt düğüm noktasına bağlıyken \(R_3\) çok küçük olduğu sürece değer pozitiftir, çünkü bu durumda alt düğüm noktası üsttekinden daha yüksek potansiyeldedir. \(R_3\) çok büyük olduğunda değer negatiftir. Denge noktası, zıt işaretli değerler veren iki \(R_3\) değeri arasındadır. Her ikiye bölmede denge noktasını hâlâ içeren yarı tutulur, böylece aralık her adımda yarıya iner.

Dengede ölçüm yapmak bir sıfır yöntemidir. Ölçü aletinin skala hatası önemli değildir, çünkü yalnızca sıfırı göstermesi gerekir; direnci de önemli değildir, çünkü içinden akım geçmez. Kaynak gerilimi denge koşulunda sadeleşir. Doğruluk, \(R_1\), \(R_2\) ve \(R_3\)'ün ne kadar iyi bilindiğine ve ölçü aletinin ne kadar küçük bir dengesizliği algılayabildiğine bağlıdır; aynı dengesizlik, kaynak gerilimi yükseldikçe daha büyük bir değer verir. Ohm yasasıyla, yani \(R = U / I\) ile yapılan bir ölçüm iki ölçü aletinin skala hatalarını taşır ve bunlardan biri her zaman \(R_x\)'e ait olandan fazlasını gösterir: ya voltmetre ampermetrenin üzerindeki gerilimi de içerir ya da ampermetre voltmetrenin akımını da içerir (Ampermetre ve voltmetrenin bağlanması deneyine bakın). Köprünün geleneksel sıfır dedektörü, sıfırı ortada olan bir galvanometredir; küçük akımlar için duyarlı bir ölçü aleti. Düzeneğimizde aynı işi mikrovoltlara kadar ölçebilen bir voltmetre görür.

Samuel Hunter Christie bu devreyi 1833'te tanımladı, Charles Wheatstone ise 1843'te geniş çapta tanınmasını sağladı. Gerinim ölçerli ve direnç termometreli devreler köprüyü bugün de sapma modunda kullanır: köprü bir referans durumunda dengelenir, algılayıcı kollardan birini oluşturur ve köşegendeki gerilim algılayıcının direncindeki küçük değişiklikleri izler.

Düzenek

“Teorik bilgi” bölümündeki şema düzeneğin sıralarını ve taraflarını korur: aynı iki sıra, solda “+” ve sağda “−”. İç direnci 0,5 Ω olan 5 V'luk bir kaynak; “+” ucu soldaki baralarda, “−” ucu sağdaki baralarda. Üst bölücü üst sıra boyunca uzanır: “+” yanında \(R_1\) = 1 kΩ, “−” yanında \(R_2\) = 1 kΩ. Alt bölücü alt sıra boyunca uzanır: “+” yanında \(R_3\) = 1 kΩ, “−” yanında bilinmeyen \(R_x\) direnci. \(R_x\)'in renk bantları yoktur ve seçildiğinde değerini gösterir; bu yüzden 4. adıma kadar ona dokunmayın. \(R_3\) direnç kutusu görevi görür ve ohm cinsinden ayarlanır: parametre kartı kΩ biriminde açılır, bu yüzden \(R_3\)'ü her seçtiğinizde birim listesinden Ω'u seçin. Yaklaşık −2,5 V gösteriyorsa değer kΩ olarak girilmiştir. Voltmetre köşegendedir: “+” soketi \(R_3\) ile \(R_x\) arasındaki barada, “−” soketi \(R_1\) ile \(R_2\) arasındaki baradadır. Pozitif bir değer ekranda işaretsiz görünür.

İşlem basamakları

1. Voltmetrenin gösterdiği değeri ve işaretini not edin.
2. \(R_3\)'ü 2000 Ω'a ayarlayın ve gösterilen değeri ve işaretini not edin.
3. 1000 Ω ve 2000 Ω'daki değerler zıt işaretliyse denge noktası bunların arasındadır. \(R_3\)'ü aralığın ortasına ayarlayın ve uçlarında zıt işaretli değerler veren yarıyı tutun. Tam ohma yuvarlayarak, uçlar arasında 1 Ω fark kalana kadar tekrarlayın ve her \(R_3\) değerini gösterilen değerle birlikte bir tabloya kaydedin. Okunan değeri sıfıra daha yakın olan \(R_3\) değerini not edin.
4. \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\) değerini hesaplayın. Nominal değerini okumak için \(R_x\)'i seçin ve sonuçla karşılaştırın.
5. \(R_3\)'ü dengede bırakarak kaynak gerilimini 10 V'a yükseltin ve gösterilen değeri not edin. Ardından \(R_3\)'ü denge değerinin 1 Ω üstüne ayarlayın ve gösterilen değeri 3. adımdaki 5 V'taki değerle karşılaştırın. \(R_3\)'ü yeniden denge değerine, kaynağı da 5 V'a getirin.
6. \(R_1\)'i 2 kΩ'a ayarlayın. 4. adımda bulduğunuz \(R_x\)'ten, köprüyü şimdi dengeleyecek \(R_3\) değerini tahmin edin. \(R_3\)'ü tahmininize ayarlayın ve onun 1 Ω altında ve üstünde gösterilen değerlerin zıt işaretli olduğunu kontrol edin.

Beklenen sonuç

\(R_3\) = 1000 Ω iken voltmetre yaklaşık 227 mV, yani pozitif bir değer gösterir. 2000 Ω'da yaklaşık −625 mV gösterir: \(R_3\) denge noktasını geçmiştir. Aralığı ikiye bölmek 1500 Ω'da −278 mV, 1250 Ω'da −51 mV ve 1125 Ω'da 81 mV verir ve yaklaşık on ayardan sonra 1200 Ω ile 1201 Ω arasında biter. Gösterilen değer 1200 Ω'da yaklaşık 18 µV, 1201 Ω'da −1,02 mV'tur; yani \(R_3\) = 1200 Ω ve \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω, \(R_x\)'in nominal değeri. Değer tam olarak sıfıra ulaşmaz, çünkü her biri yaklaşık 0,02 Ω olan kablolar kollara eşit olmayan miktarlarda eklenir.

10 V'ta köprü dengede kalır ve gösterilen değer yaklaşık 36 µV'tur, oysa iki düğüm noktası da 5,0 V'a yükselmiştir. 1201 Ω'da değer yaklaşık −2,05 mV'tur, 5 V'taki −1,02 mV'un iki katı: denge noktası kaymaz, ama daha yüksek kaynak gerilimi sıfırı daha keskin yapar.

\(R_1\) = 2 kΩ iken köprü, tahmin edildiği gibi \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω'da dengelenir: \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω. Gösterilen değerler 2399 Ω'da yaklaşık 0,46 mV, 2401 Ω'da −0,46 mV'tur. \(R_3\)'teki 1 Ω'luk bir değişiklik artık \(R_x\)'in 0,5 Ω'una karşılık gelir; bu yüzden aynı kutu \(R_x\)'i iki kat daha hassas ölçer.

Sorular

1. Bölücü formülünden \(R_3\) = 1000 Ω ve 2000 Ω için voltmetrenin göstereceği değerleri hesaplayın ve 1. ve 2. adımlarda okunan değerlerle karşılaştırın.
2. 1. adımdaki son 1 Ω'luk aralığınızın iki ucundaki değerlerden doğrusal interpolasyonla, ohmun onda biri duyarlıkla, gösterilen değerin sıfır olacağı \(R_3\) değerini bulun. Gerçek bir köprüde \(R_1\), \(R_2\) ve \(R_3\)'ün her birinin toleransı %0,1 ise \(R_x\)'teki belirsizlik nedir?
3. \(R_x\) bir gerinim ölçerdir ve köprü 3. adımın sonundaki gibi dengededir. Gerinim ölçer gerilir ve direnci 1 Ω artar. Voltmetre ne gösterir ve gerinim ölçerli bir devre neden yalnızca gerinim ölçerin uçlarına bağlı bir voltmetre yerine köprüyü kullanır?

Cevaplar

1. Üst düğüm noktası her \(R_3\) değerinde 5 V × 1000 / 2000 = 2,500 V'tadır. \(R_3\) = 1000 Ω iken alttaki 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2,727 V'tadır ve voltmetre 2,727 − 2,500 ≈ 0,227 V gösterir. 2000 Ω'da alt düğüm noktası 5 V × 1200 / 3200 = 1,875 V'tadır ve gösterilen değer 1,875 − 2,500 = −0,625 V'tur. Hesaplanan değerler okunan değerlerden 1 mV'tan az farklıdır. Fark esas olarak kaynağın 0,5 Ω'luk iç direncinden, daha az ölçüde de voltmetrenin 10 MΩ'undan ve kablolardan gelir.
2. Gösterilen değer 1200 Ω'da yaklaşık 18 µV, 1201 Ω'da −1,02 mV'tur; yani ohm başına yaklaşık 1,04 mV düşer. Sıfır, 1200 Ω'dan 1201 Ω'a giden yolun 0,018 / 1,04 ≈ 0,02'sinde, \(R_3\) ≈ 1200,0 Ω'dadır. Ölçü aleti sıfırı kutunun tek bir adımının çok içinde bulur; bu yüzden sonucu 1 Ω'luk adımlar sınırlar: 1200 Ω'da 1 Ω, %0,1'den azdır. Gerçek bir köprüde üç direncin yüzde belirsizlikleri \(R_3 \cdot R_2 / R_1\) ifadesinde toplanır ve \(R_x\)'teki belirsizlik %0,3'e ulaşabilir.
3. Dengeye yakın bir \(\Delta R_x\) değişikliği gösterilen değeri \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\) kadar değiştirir: 5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1,04 mV, pozitif bir değer. Yalnızca gerinim ölçerin uçlarında aynı 1 Ω, yaklaşık 2,5 V'luk bir gerilimi yaklaşık 1 mV değiştirirdi; bunu okumak için gösterdiği değerin %0,04'ünü ayırt edebilen bir ölçü aleti ve o kadar bile kaymayan bir kaynak gerekirdi. Köprü sabit 2,5 V'u çıkarır: değişiklik sıfırdan başlar, onu duyarlı bir ölçüm aralığı gösterir ve kaynak gerilimindeki kayma sıfırı oynatmaz.