Ponte di Wheatstone

Programmi: A-level (extension), Sek II

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Obiettivo

Equilibrare un ponte di Wheatstone e determinare una resistenza incognita a partire da tre note con un metodo di zero.

Teoria

Un ponte di Wheatstone è formato da due partitori di tensione collegati allo stesso generatore. Nel partitore superiore la corrente attraversa \(R_1\) e poi \(R_2\); in quello inferiore, \(R_3\) e poi \(R_x\). Ciascuno dei quattro resistori è un lato del ponte. Rispetto al morsetto «−» del generatore, il nodo del partitore superiore si trova al potenziale \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\), e quello del partitore inferiore a \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) (vedere l'esperimento Partitore di tensione con potenziometro). Un voltmetro collegato tra i due nodi forma la diagonale del ponte e indica la differenza di potenziale tra di essi.

Il ponte è in equilibrio quando i due nodi si trovano allo stesso potenziale: il voltmetro indica zero, e nella diagonale non passa corrente. Potenziali uguali significano \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\). Capovolgendo entrambe le frazioni e sottraendo 1 da ciascun membro si ottiene la condizione di equilibrio \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\), quindi la resistenza incognita è \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Scritta come \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\), la condizione dice che i prodotti dei lati opposti sono uguali: \(R_1\) e \(R_x\) da una parte, \(R_2\) e \(R_3\) dall'altra.

\(R_1\) e \(R_2\) sono i lati di rapporto, e \(R_3\) è il lato variabile. In un laboratorio scolastico \(R_3\) è una cassetta di resistenze: resistori di precisione selezionati con una manopola per ciascun ordine, unità, decine, centinaia e migliaia di ohm. I lati di rapporto fissano il campo di misura e la risoluzione del ponte. Con \(R_1 / R_2\) = 10, l'equilibrio si raggiunge con \(R_3\) dieci volte maggiore di \(R_x\), quindi una cassetta che procede a passi di un ohm determina \(R_x\) al decimo di ohm. Con \(R_1 / R_2\) = 1/10 la stessa cassetta misura resistenze dieci volte oltre il proprio campo di misura. In un ponte a filo i lati di rapporto sono le due parti di un unico filo omogeneo, divise da un contatto strisciante. La resistenza di un filo è proporzionale alla sua lunghezza, quindi \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) e \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\).

Il segno della lettura indica in quale verso cambiare \(R_3\). Con la boccola «+» del voltmetro sul nodo inferiore, la lettura è positiva finché \(R_3\) è troppo piccola, perché il nodo inferiore si trova allora a un potenziale più alto di quello superiore. Quando \(R_3\) è troppo grande, la lettura è negativa. Il punto di equilibrio sta tra due valori di \(R_3\) che danno letture di segno opposto. Ogni dimezzamento conserva la metà che contiene ancora il punto di equilibrio, quindi l'intervallo si dimezza a ogni passo.

Misurare all'equilibrio è un metodo di zero. L'errore di scala dello strumento non conta, perché deve solo indicare zero, e nemmeno la sua resistenza, perché non è attraversato da corrente. La tensione del generatore si elimina dalla condizione di equilibrio. La precisione dipende da quanto bene sono note \(R_1\), \(R_2\) e \(R_3\) e da quanto piccolo è lo squilibrio che lo strumento riesce a rilevare, e questo squilibrio dà una lettura maggiore con una tensione del generatore più alta. Una misura con la legge di Ohm, \(R = U / I\), porta con sé gli errori di scala di due strumenti, e uno dei due indica sempre più di quanto spetta a \(R_x\): o il voltmetro include la tensione ai capi dell'amperometro, o l'amperometro include la corrente del voltmetro (vedere l'esperimento Collegamento di amperometro e voltmetro). Il rivelatore tradizionale di un ponte è un galvanometro a zero centrale, uno strumento sensibile per piccole correnti. Nel nostro montaggio svolge lo stesso compito un voltmetro che legge fino ai microvolt.

Samuel Hunter Christie descrisse il circuito nel 1833, e Charles Wheatstone lo rese ampiamente noto nel 1843. I circuiti con estensimetri e termometri a resistenza usano ancora il ponte in modalità di squilibrio: il ponte viene equilibrato in uno stato di riferimento, il sensore forma uno dei lati, e la tensione ai capi della diagonale segue le piccole variazioni della sua resistenza.

Il montaggio

Lo schema in «Teoria» rispetta le file e l'orientamento del montaggio: le stesse due file, «+» a sinistra e «−» a destra. Un generatore da 5 V con una resistenza interna di 0,5 Ω, con il «+» sulle barre a sinistra e il «−» sulle barre a destra. Il partitore superiore corre lungo la fila in alto, con \(R_1\) = 1 kΩ accanto al «+» e \(R_2\) = 1 kΩ accanto al «−». Il partitore inferiore corre lungo la fila in basso, con \(R_3\) = 1 kΩ accanto al «+» e il resistore incognito \(R_x\) accanto al «−». \(R_x\) non ha fasce colorate, e selezionarlo ne mostra il valore, quindi lasciarlo fino al passo 4. \(R_3\) fa da cassetta di resistenze e si imposta in ohm: il suo pannello dei parametri si apre in kΩ, quindi scegliere Ω nell'elenco delle unità ogni volta che si seleziona \(R_3\). Una lettura vicina a −2,5 V significa che il valore è stato inserito in kΩ. Il voltmetro è nella diagonale, con la boccola «+» sulla barra tra \(R_3\) e \(R_x\) e la boccola «−» sulla barra tra \(R_1\) e \(R_2\). Una lettura positiva non ha segno sullo schermo.

Procedimento

1. Annotare la lettura del voltmetro e il suo segno.
2. Impostare \(R_3\) a 2000 Ω e annotare la lettura e il suo segno.
3. Se le letture a 1000 Ω e a 2000 Ω hanno segni opposti, il punto di equilibrio sta tra di esse. Impostare \(R_3\) al centro dell'intervallo e tenere la metà i cui estremi danno letture di segno opposto. Ripetere, arrotondando agli ohm interi, finché gli estremi distano 1 Ω, e riportare in una tabella ogni valore di \(R_3\) con la sua lettura. Annotare il valore di \(R_3\) la cui lettura è più vicina a zero.
4. Calcolare \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Selezionare \(R_x\) per leggerne il valore nominale e confrontarlo con il risultato.
5. Lasciando \(R_3\) all'equilibrio, alzare la tensione del generatore a 10 V e annotare la lettura. Poi impostare \(R_3\) 1 Ω sopra il valore di equilibrio e confrontare la lettura con quella a 5 V del passo 3. Riportare \(R_3\) al valore di equilibrio e il generatore a 5 V.
6. Impostare \(R_1\) a 2 kΩ. Dalla \(R_x\) trovata al passo 4, prevedere il valore di \(R_3\) che ora equilibra il ponte. Impostare \(R_3\) al valore previsto e verificare che le letture 1 Ω sopra e 1 Ω sotto di esso abbiano segni opposti.

Risultato atteso

Con \(R_3\) = 1000 Ω il voltmetro indica circa 227 mV, una lettura positiva. A 2000 Ω indica circa −625 mV: \(R_3\) ha superato il punto di equilibrio. Dimezzando l'intervallo si ottengono −278 mV a 1500 Ω, −51 mV a 1250 Ω e 81 mV a 1125 Ω, e dopo una decina di impostazioni si arriva all'intervallo tra 1200 Ω e 1201 Ω. La lettura è di circa 18 µV a 1200 Ω e −1,02 mV a 1201 Ω, quindi \(R_3\) = 1200 Ω e \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω, il valore nominale di \(R_x\). La lettura non arriva esattamente a zero, perché i cavi, di circa 0,02 Ω ciascuno, si aggiungono ai lati in modo disuguale.

A 10 V il ponte resta in equilibrio, e la lettura è di circa 36 µV, sebbene entrambi i nodi siano saliti a 5,0 V. A 1201 Ω la lettura è di circa −2,05 mV, il doppio dei −1,02 mV a 5 V: il punto di equilibrio non si sposta, ma una tensione del generatore più alta rende lo zero più netto.

Con \(R_1\) = 2 kΩ il ponte si equilibra a \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω, come previsto: \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω. Le letture sono di circa 0,46 mV a 2399 Ω e −0,46 mV a 2401 Ω. Una variazione di 1 Ω di \(R_3\) corrisponde ora a 0,5 Ω di \(R_x\), quindi la stessa cassetta misura \(R_x\) con una finezza doppia.

Domande

1. Calcolare le letture del voltmetro a \(R_3\) = 1000 Ω e 2000 Ω con la formula del partitore e confrontarle con le letture dei passi 1 e 2.
2. Dalle letture ai due estremi dell'ultimo intervallo di 1 Ω del passo 3, determinare per interpolazione lineare, al decimo di ohm, il valore di \(R_3\) al quale la lettura sarebbe zero. Se \(R_1\), \(R_2\) e \(R_3\) di un ponte reale hanno ciascuna una tolleranza dello 0,1%, qual è l'incertezza su \(R_x\)?
3. \(R_x\) è un estensimetro, e il ponte è equilibrato come alla fine del passo 3. L'estensimetro viene allungato, e la sua resistenza aumenta di 1 Ω. Che cosa indica il voltmetro, e perché un circuito a estensimetro usa il ponte invece di un voltmetro ai capi del solo estensimetro?

Risposte

1. Il nodo superiore è a 5 V × 1000 / 2000 = 2,500 V per qualsiasi \(R_3\). A \(R_3\) = 1000 Ω quello inferiore è a 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2,727 V, e il voltmetro indica 2,727 − 2,500 ≈ 0,227 V. A 2000 Ω il nodo inferiore è a 5 V × 1200 / 3200 = 1,875 V, e la lettura è 1,875 − 2,500 = −0,625 V. I valori calcolati differiscono dalle letture per meno di 1 mV. La differenza deriva soprattutto dalla resistenza interna di 0,5 Ω del generatore e, in misura minore, dai 10 MΩ del voltmetro e dai cavi.
2. La lettura è di circa 18 µV a 1200 Ω e −1,02 mV a 1201 Ω, quindi scende di circa 1,04 mV per ohm. Lo zero si trova a 0,018 / 1,04 ≈ 0,02 del tratto da 1200 Ω a 1201 Ω, a \(R_3\) ≈ 1200,0 Ω. Lo strumento individua lo zero ben dentro un passo della cassetta, quindi a limitare il risultato sono i passi di 1 Ω: 1 Ω su 1200 Ω è meno dello 0,1%. In un ponte reale le incertezze percentuali dei tre resistori si sommano in \(R_3 \cdot R_2 / R_1\), e l'incertezza su \(R_x\) può arrivare allo 0,3%.
3. Vicino all'equilibrio una variazione \(\Delta R_x\) cambia la lettura di \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\): 5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1,04 mV, una lettura positiva. Ai capi del solo estensimetro lo stesso 1 Ω cambierebbe una tensione di circa 2,5 V di circa 1 mV, e per misurare questa variazione servirebbe uno strumento che risolva lo 0,04% della propria lettura, con un generatore che non vari altrettanto. Il ponte sottrae i 2,5 V costanti: la variazione parte da zero, una portata sensibile la mostra, e una deriva della tensione del generatore non sposta lo zero.