Mostek Wheatstone'a

Podstawy programowe: A-level (extension), Sek II

Otwórz pełną wersję ↗

Cel

Zrównoważyć mostek Wheatstone'a i wyznaczyć metodą zerową nieznany opór na podstawie trzech znanych.

Teoria

Mostek Wheatstone'a to dwa dzielniki napięcia podłączone do tego samego źródła. W górnym dzielniku prąd płynie przez \(R_1\), a potem przez \(R_2\); w dolnym — przez \(R_3\), a potem przez \(R_x\). Każdy z czterech oporników jest ramieniem mostka. Względem bieguna „−” źródła węzeł górnego dzielnika ma potencjał \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\), a węzeł dolnego potencjał \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) (zob. doświadczenie Dzielnik napięcia z potencjometrem). Woltomierz włączony między oba węzły tworzy przekątną mostka i wskazuje różnicę potencjałów między nimi.

Mostek jest zrównoważony, gdy oba węzły mają ten sam potencjał: woltomierz wskazuje zero, a przez przekątną nie płynie prąd. Równość potencjałów oznacza \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\). Po odwróceniu obu ułamków i odjęciu 1 od każdej strony otrzymuje się warunek równowagi \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\), skąd nieznany opór wynosi \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Zapisany jako \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\), warunek mówi, że iloczyny przeciwległych ramion są równe: \(R_1\) i \(R_x\) z jednej strony, \(R_2\) i \(R_3\) z drugiej.

\(R_1\) i \(R_2\) to ramiona stosunkowe, a \(R_3\) to ramię regulowane. W szkolnej pracowni \(R_3\) jest opornicą dekadową: precyzyjnymi opornikami wybieranymi osobnym przełącznikiem dla jedności, dziesiątek, setek i tysięcy omów. Ramiona stosunkowe wyznaczają zakres i rozdzielczość mostka. Przy \(R_1 / R_2\) = 10 mostek jest w równowadze przy \(R_3\) dziesięć razy większym od \(R_x\), więc opornica o kroku jednego całego oma wyznacza \(R_x\) z dokładnością do dziesiątej części oma. Przy \(R_1 / R_2\) = 1/10 ta sama opornica mierzy opory dziesięć razy większe niż jej własny zakres. W mostku z drutem oporowym ramionami stosunkowymi są dwie części jednego jednorodnego drutu, rozdzielone stykiem ślizgowym. Opór drutu jest proporcjonalny do jego długości, więc \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) i \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\).

Znak wskazania pokazuje, w którą stronę zmieniać \(R_3\). Gdy gniazdo „+” woltomierza jest podłączone do dolnego węzła, wskazanie jest dodatnie, dopóki \(R_3\) jest za mały, bo dolny węzeł ma wtedy wyższy potencjał niż górny. Gdy \(R_3\) jest za duży, wskazanie jest ujemne. Punkt równowagi leży między dwiema wartościami \(R_3\), które dają wskazania przeciwnych znaków. Każde dzielenie na pół zostawia tę połowę, która nadal zawiera punkt równowagi, więc przedział z każdym krokiem zmniejsza się o połowę.

Pomiar w stanie równowagi to metoda zerowa. Błąd skali miernika nie ma znaczenia, bo miernik musi tylko pokazać zero, a jego opór nie ma znaczenia, bo nie płynie przez niego prąd. Napięcie źródła skraca się w warunku równowagi. Dokładność zależy od tego, jak dobrze znane są \(R_1\), \(R_2\) i \(R_3\), oraz od tego, jak małe niezrównoważenie miernik potrafi wykryć, a przy wyższym napięciu źródła to niezrównoważenie daje większe wskazanie. Pomiar z prawa Ohma, \(R = U / I\), obarczony jest błędami skali dwóch mierników, a jeden z nich zawsze wskazuje więcej, niż przypada na \(R_x\): albo woltomierz obejmuje także napięcie na amperomierzu, albo amperomierz obejmuje także prąd woltomierza (zob. doświadczenie Włączanie amperomierza i woltomierza). Tradycyjnym wskaźnikiem zera mostka jest galwanometr z zerem pośrodku skali, czuły miernik małych prądów. W naszym układzie tę samą rolę pełni woltomierz, który rozróżnia nawet mikrowolty.

Samuel Hunter Christie opisał ten układ w 1833 roku, a Charles Wheatstone rozpowszechnił go w 1843 roku. Układy z tensometrami i termometrami oporowymi do dziś wykorzystują mostek niezrównoważony: mostek równoważy się w stanie odniesienia, czujnik stanowi jedno z ramion, a napięcie na przekątnej odzwierciedla małe zmiany jego oporu.

Układ

Schemat w części „Teoria” zachowuje rzędy i strony układu: te same dwa rzędy, „+” po lewej i „−” po prawej. Źródło 5 V o oporze wewnętrznym 0,5 Ω, jego „+” na szynach po lewej, a jego „−” na szynach po prawej. Górny dzielnik biegnie wzdłuż górnego rzędu, z \(R_1\) = 1 kΩ przy „+” i \(R_2\) = 1 kΩ przy „−”. Dolny dzielnik biegnie wzdłuż dolnego rzędu, z \(R_3\) = 1 kΩ przy „+” i nieznanym opornikiem \(R_x\) przy „−”. \(R_x\) nie ma pasków kodu barwnego, a jego zaznaczenie pokazuje jego wartość, dlatego należy go zostawić do punktu 4. \(R_3\) pełni rolę opornicy dekadowej i ustawia się go w omach: jego karta parametrów otwiera się w kΩ, więc przy każdym zaznaczeniu \(R_3\) należy wybrać Ω na liście jednostek. Wskazanie bliskie −2,5 V oznacza, że wartość została wpisana w kΩ. Woltomierz jest włączony w przekątną, jego gniazdo „+” na szynie między \(R_3\) a \(R_x\), a gniazdo „−” na szynie między \(R_1\) a \(R_2\). Dodatnie wskazanie jest wyświetlane na ekranie bez znaku.

Przebieg doświadczenia

1. Zapisać wskazanie woltomierza i jego znak.
2. Ustawić \(R_3\) na 2000 Ω i zapisać wskazanie i jego znak.
3. Jeśli wskazania przy 1000 Ω i 2000 Ω mają przeciwne znaki, punkt równowagi leży między nimi. Ustawić \(R_3\) na środek przedziału i zostawić tę połowę, na której końcach wskazania mają przeciwne znaki. Powtarzać, zaokrąglając do całych omów, aż końce przedziału będą się różnić o 1 Ω, i zapisywać w tabeli każdą wartość \(R_3\) z jej wskazaniem. Zapisać tę wartość \(R_3\), przy której wskazanie jest bliższe zera.
4. Obliczyć \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Zaznaczyć \(R_x\), odczytać jego wartość nominalną i porównać ją z wynikiem.
5. Pozostawiając \(R_3\) w położeniu równowagi, zwiększyć napięcie źródła do 10 V i zapisać wskazanie. Następnie ustawić \(R_3\) o 1 Ω powyżej wartości równowagi i porównać wskazanie ze wskazaniem przy 5 V z punktu 3. Przywrócić \(R_3\) wartość równowagi, a źródłu napięcie 5 V.
6. Ustawić \(R_1\) na 2 kΩ. Na podstawie \(R_x\) wyznaczonego w punkcie 4 przewidzieć, przy jakiej wartości \(R_3\) mostek jest teraz w równowadze. Ustawić \(R_3\) na przewidzianą wartość i sprawdzić, że wskazania o 1 Ω powyżej i o 1 Ω poniżej niej mają przeciwne znaki.

Oczekiwany wynik

Przy \(R_3\) = 1000 Ω woltomierz wskazuje około 227 mV, wskazanie dodatnie. Przy 2000 Ω wskazuje około −625 mV: \(R_3\) przeszedł przez punkt równowagi. Dzielenie przedziału na pół daje −278 mV przy 1500 Ω, −51 mV przy 1250 Ω i 81 mV przy 1125 Ω, a po około dziesięciu nastawach kończy się między 1200 Ω a 1201 Ω. Wskazanie wynosi około 18 µV przy 1200 Ω i −1,02 mV przy 1201 Ω, więc \(R_3\) = 1200 Ω i \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω, czyli wartość nominalna \(R_x\). Wskazanie nie osiąga dokładnie zera, bo kable, każdy o oporze około 0,02 Ω, dodają się do ramion nierównomiernie.

Przy 10 V mostek pozostaje w równowadze, a wskazanie wynosi około 36 µV, choć potencjały obu węzłów wzrosły do 5,0 V. Przy 1201 Ω wskazanie wynosi około −2,05 mV, dwa razy więcej niż −1,02 mV przy 5 V: punkt równowagi się nie przesuwa, ale wyższe napięcie źródła sprawia, że zero jest ostrzejsze.

Przy \(R_1\) = 2 kΩ mostek jest w równowadze przy \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω, zgodnie z przewidywaniem: \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω. Wskazania wynoszą około 0,46 mV przy 2399 Ω i −0,46 mV przy 2401 Ω. Zmiana \(R_3\) o 1 Ω odpowiada teraz 0,5 Ω oporu \(R_x\), więc ta sama opornica mierzy \(R_x\) dwa razy dokładniej.

Pytania

1. Obliczyć ze wzoru na dzielnik wskazania woltomierza przy \(R_3\) = 1000 Ω i 2000 Ω i porównać je ze wskazaniami z punktów 1 i 2.
2. Na podstawie wskazań na obu końcach ostatniego przedziału 1 Ω z punktu 3 wyznaczyć interpolacją liniową, z dokładnością do dziesiątej części oma, wartość \(R_3\), przy której wskazanie byłoby zerowe. Jeśli \(R_1\), \(R_2\) i \(R_3\) rzeczywistego mostka mają tolerancję 0,1% każdy, jaka jest niepewność \(R_x\)?
3. \(R_x\) jest tensometrem, a mostek jest zrównoważony jak na końcu punktu 3. Tensometr zostaje rozciągnięty i jego opór wzrasta o 1 Ω. Co wskaże woltomierz i dlaczego w układzie z tensometrem stosuje się mostek, a nie woltomierz na samym tensometrze?

Odpowiedzi

1. Górny węzeł ma przy dowolnym \(R_3\) potencjał 5 V × 1000 / 2000 = 2,500 V. Przy \(R_3\) = 1000 Ω dolny ma potencjał 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2,727 V, a woltomierz wskazuje 2,727 − 2,500 ≈ 0,227 V. Przy 2000 Ω dolny węzeł ma potencjał 5 V × 1200 / 3200 = 1,875 V, a wskazanie wynosi 1,875 − 2,500 = −0,625 V. Obliczone wartości różnią się od wskazań o mniej niż 1 mV. Różnica wynika głównie z oporu wewnętrznego źródła 0,5 Ω, a w mniejszym stopniu z 10 MΩ woltomierza i z kabli.
2. Wskazanie wynosi około 18 µV przy 1200 Ω i −1,02 mV przy 1201 Ω, więc maleje o około 1,04 mV na om. Zero leży w 0,018 / 1,04 ≈ 0,02 drogi od 1200 Ω do 1201 Ω, przy \(R_3\) ≈ 1200,0 Ω. Miernik wyznacza zero z dużym zapasem w obrębie jednego kroku opornicy, więc wynik ogranicza krok 1 Ω: 1 Ω na 1200 Ω to mniej niż 0,1%. W rzeczywistym mostku niepewności względne trzech oporników w \(R_3 \cdot R_2 / R_1\) sumują się, a niepewność \(R_x\) może sięgać 0,3%.
3. W pobliżu równowagi zmiana \(\Delta R_x\) zmienia wskazanie o \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\): 5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1,04 mV, wskazanie dodatnie. Na samym tensometrze ten sam 1 Ω zmieniłby o około 1 mV napięcie około 2,5 V, a odczytanie tego wymagałoby miernika rozróżniającego 0,04% swojego wskazania i źródła, które nie dryfuje o tyle samo. Mostek odejmuje stałe 2,5 V: zmiana zaczyna się od zera, pokazuje ją czuły zakres, a dryf napięcia źródła nie przesuwa zera.