Puente de Wheatstone

Programas: A-level (extension), Sek II

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Objetivo

Equilibrar un puente de Wheatstone y hallar una resistencia desconocida a partir de tres conocidas por un método de cero.

Teoría

Un puente de Wheatstone son dos divisores de tensión conectados a la misma fuente. En el divisor superior la corriente pasa por \(R_1\) y luego por \(R_2\); en el inferior, por \(R_3\) y luego por \(R_x\). Cada una de las cuatro resistencias es una rama del puente. Respecto al borne «−» de la fuente, el nudo del divisor superior está a un potencial de \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\), y el del inferior a \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) (vea la práctica Divisor de tensión con potenciómetro). Un voltímetro conectado entre los dos nudos forma la diagonal del puente y mide la diferencia de potencial entre ellos.

El puente está equilibrado cuando los dos nudos están al mismo potencial: el voltímetro marca cero, y no circula corriente por la diagonal. Potenciales iguales significan \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\). Invirtiendo las dos fracciones y restando 1 a cada miembro se obtiene la condición de equilibrio \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\), de modo que la resistencia desconocida es \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Escrita como \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\), la condición dice que los productos de las ramas opuestas son iguales: \(R_1\) y \(R_x\) por un lado, \(R_2\) y \(R_3\) por el otro.

\(R_1\) y \(R_2\) son las ramas de proporción, y \(R_3\) es la rama variable. En un laboratorio escolar \(R_3\) es una caja de resistencias: resistencias de precisión que se seleccionan con un mando para cada orden, las unidades, decenas, centenas y millares de ohmios. Las ramas de proporción fijan el rango y la resolución del puente. Con \(R_1 / R_2\) = 10, el equilibrio se alcanza con \(R_3\) diez veces mayor que \(R_x\), así que una caja que avanza de ohmio en ohmio halla \(R_x\) con una precisión de una décima de ohmio. Con \(R_1 / R_2\) = 1/10 la misma caja mide resistencias diez veces por encima de su propio rango. En un puente de hilo las ramas de proporción son las dos partes de un mismo hilo homogéneo, separadas por un contacto deslizante. La resistencia de un hilo es proporcional a su longitud, así que \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) y \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\).

El signo de la lectura indica en qué sentido hay que cambiar \(R_3\). Con el borne «+» del voltímetro en el nudo inferior, la lectura es positiva mientras \(R_3\) es demasiado pequeña, porque el nudo inferior está entonces a un potencial más alto que el superior. Cuando \(R_3\) es demasiado grande, la lectura es negativa. El punto de equilibrio está entre dos valores de \(R_3\) que dan lecturas de signo contrario. Cada bisección conserva la mitad que aún contiene el punto de equilibrio, así que el intervalo se reduce a la mitad en cada paso.

Medir en el equilibrio es un método de cero. El error de escala del medidor no importa, porque solo tiene que marcar cero, y su resistencia tampoco, porque no circula corriente por él. La tensión de la fuente se cancela en la condición de equilibrio. La precisión depende de lo bien que se conozcan \(R_1\), \(R_2\) y \(R_3\) y de lo pequeño que sea el desequilibrio que el medidor puede detectar, y ese desequilibrio da una lectura mayor con una tensión de la fuente más alta. Una medida por la ley de Ohm, \(R = U / I\), arrastra los errores de escala de dos medidores, y uno de ellos siempre marca más de lo que corresponde a \(R_x\): o el voltímetro incluye la tensión en el amperímetro, o el amperímetro incluye la corriente del voltímetro (vea la práctica Conexión del amperímetro y el voltímetro). El detector tradicional de un puente es un galvanómetro de cero central, un medidor sensible de corrientes pequeñas. En nuestro montaje hace el mismo papel un voltímetro que mide hasta microvoltios.

Samuel Hunter Christie describió el circuito en 1833, y Charles Wheatstone lo dio a conocer ampliamente en 1843. Los circuitos de galgas extensométricas y de termómetros de resistencia siguen usando el puente en modo de desequilibrio: el puente se equilibra en un estado de referencia, el sensor forma una de las ramas, y la tensión en la diagonal sigue los pequeños cambios de su resistencia.

El montaje

El esquema de «Teoría» conserva las filas y los lados del montaje: las mismas dos filas, «+» a la izquierda y «−» a la derecha. Una fuente de 5 V con una resistencia interna de 0,5 Ω, su «+» en los buses de la izquierda y su «−» en los buses de la derecha. El divisor superior va a lo largo de la fila de arriba, con \(R_1\) = 1 kΩ junto al «+» y \(R_2\) = 1 kΩ junto al «−». El divisor inferior va a lo largo de la fila de abajo, con \(R_3\) = 1 kΩ junto al «+» y la resistencia desconocida \(R_x\) junto al «−». \(R_x\) no tiene bandas de color, y al seleccionarla se ve su valor, así que déjela para el paso 4. \(R_3\) hace de caja de resistencias y se ajusta en ohmios: su tarjeta de parámetros se abre en kΩ, así que elija Ω en la lista de unidades cada vez que seleccione \(R_3\). Una lectura cercana a −2,5 V significa que el valor se introdujo en kΩ. El voltímetro está en la diagonal, su borne «+» en el bus entre \(R_3\) y \(R_x\) y su borne «−» en el bus entre \(R_1\) y \(R_2\). Una lectura positiva no lleva signo en la pantalla.

Procedimiento

1. Anote la lectura del voltímetro y su signo.
2. Ajuste \(R_3\) a 2000 Ω y anote la lectura y su signo.
3. Si las lecturas con 1000 Ω y 2000 Ω tienen signos contrarios, el punto de equilibrio está entre ellas. Ajuste \(R_3\) al punto medio del intervalo y conserve la mitad cuyos extremos dan lecturas de signo contrario. Repita, redondeando a ohmios enteros, hasta que los extremos estén a 1 Ω uno del otro, y anote en una tabla cada valor de \(R_3\) con su lectura. Anote el valor de \(R_3\) cuya lectura está más cerca de cero.
4. Calcule \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Seleccione \(R_x\) para leer su valor nominal y compárelo con el resultado.
5. Dejando \(R_3\) en el equilibrio, suba la tensión de la fuente a 10 V y anote la lectura. Después ajuste \(R_3\) 1 Ω por encima del valor de equilibrio y compare la lectura con la obtenida a 5 V en el paso 3. Devuelva \(R_3\) al valor de equilibrio y la fuente a 5 V.
6. Ajuste \(R_1\) a 2 kΩ. A partir de la \(R_x\) hallada en el paso 4, prediga el valor de \(R_3\) que equilibra ahora el puente. Ajuste \(R_3\) al valor previsto y compruebe que las lecturas 1 Ω por encima y 1 Ω por debajo tienen signos contrarios.

Resultado esperado

Con \(R_3\) = 1000 Ω el voltímetro marca unos 227 mV, una lectura positiva. Con 2000 Ω marca unos −625 mV: \(R_3\) ha pasado el punto de equilibrio. Al dividir el intervalo a la mitad se obtienen −278 mV con 1500 Ω, −51 mV con 1250 Ω y 81 mV con 1125 Ω, y tras unos diez ajustes se termina entre 1200 Ω y 1201 Ω. La lectura es de unos 18 µV con 1200 Ω y −1,02 mV con 1201 Ω, así que \(R_3\) = 1200 Ω y \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω, el valor nominal de \(R_x\). La lectura no llega exactamente a cero porque los cables, de unos 0,02 Ω cada uno, se suman a las ramas de forma desigual.

Con 10 V el puente sigue equilibrado, y la lectura es de unos 36 µV, aunque los dos nudos han subido a 5,0 V. Con 1201 Ω la lectura es de unos −2,05 mV, el doble de los −1,02 mV a 5 V: el punto de equilibrio no se desplaza, pero una tensión de la fuente más alta hace el cero más nítido.

Con \(R_1\) = 2 kΩ el puente se equilibra con \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω, como se predijo: \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω. Las lecturas son de unos 0,46 mV con 2399 Ω y −0,46 mV con 2401 Ω. Un cambio de 1 Ω en \(R_3\) equivale ahora a 0,5 Ω de \(R_x\), así que la misma caja mide \(R_x\) con el doble de finura.

Preguntas

1. Calcule las lecturas del voltímetro con \(R_3\) = 1000 Ω y 2000 Ω con la fórmula del divisor y compárelas con las lecturas de los pasos 1 y 2.
2. A partir de las lecturas en los dos extremos de su último intervalo de 1 Ω del paso 3, halle por interpolación lineal, con una precisión de una décima de ohmio, el valor de \(R_3\) con el que la lectura sería cero. Si \(R_1\), \(R_2\) y \(R_3\) de un puente real tienen cada una una tolerancia del 0,1%, ¿cuál es la incertidumbre de \(R_x\)?
3. \(R_x\) es una galga extensométrica, y el puente está equilibrado como al final del paso 3. La galga se estira y su resistencia aumenta 1 Ω. ¿Qué marca el voltímetro, y por qué un circuito de galga extensométrica usa el puente y no un voltímetro conectado solo a la galga?

Respuestas

1. El nudo superior está a 5 V × 1000 / 2000 = 2,500 V para cualquier \(R_3\). Con \(R_3\) = 1000 Ω el inferior está a 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2,727 V, y el voltímetro marca 2,727 − 2,500 ≈ 0,227 V. Con 2000 Ω el nudo inferior está a 5 V × 1200 / 3200 = 1,875 V, y la lectura es 1,875 − 2,500 = −0,625 V. Los valores calculados difieren de las lecturas en menos de 1 mV. La diferencia se debe sobre todo a la resistencia interna de 0,5 Ω de la fuente y, en menor medida, a los 10 MΩ del voltímetro y a los cables.
2. La lectura es de unos 18 µV con 1200 Ω y −1,02 mV con 1201 Ω, así que baja unos 1,04 mV por ohmio. El cero está a 0,018 / 1,04 ≈ 0,02 del trayecto de 1200 Ω a 1201 Ω, en \(R_3\) ≈ 1200,0 Ω. El medidor sitúa el cero muy dentro de un paso de la caja, así que el resultado lo limitan los pasos de 1 Ω: 1 Ω en 1200 Ω es menos del 0,1%. En un puente real las incertidumbres porcentuales de las tres resistencias se suman en \(R_3 \cdot R_2 / R_1\), y la incertidumbre de \(R_x\) puede llegar al 0,3%.
3. Cerca del equilibrio, un cambio \(\Delta R_x\) cambia la lectura en \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\): 5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1,04 mV, una lectura positiva. En la galga sola, el mismo 1 Ω cambiaría una tensión de unos 2,5 V en aproximadamente 1 mV, y para leerlo haría falta un medidor que resuelva el 0,04% de su lectura, con una fuente que no derive tanto. El puente resta los 2,5 V constantes: el cambio parte de cero, un rango sensible lo muestra, y una deriva de la tensión de la fuente no desplaza el cero.