Мост Уитстона

Программы: A-level (extension), Sek II

Открыть полную версию ↗

Цель

Уравновесить мост Уитстона и найти неизвестное сопротивление по трём известным нулевым методом.

Теория

Мост Уитстона — это два делителя напряжения, подключённые к одному источнику. В верхнем делителе ток идёт через \(R_1\), затем через \(R_2\); в нижнем — через \(R_3\), затем через \(R_x\). Каждый из четырёх резисторов — плечо моста. Относительно «−» источника узел верхнего делителя находится под потенциалом \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\), а узел нижнего — под потенциалом \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) (см. лабораторную работу Делитель напряжения на потенциометре). Вольтметр, включённый между двумя узлами, образует диагональ моста и показывает разность их потенциалов.

Мост уравновешен, когда оба узла находятся под одинаковым потенциалом: вольтметр показывает ноль, и по диагонали ток не идёт. Равенство потенциалов означает \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\). Если перевернуть обе дроби и вычесть из каждой части 1, получится условие равновесия \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\), откуда неизвестное сопротивление \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). В записи \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\) условие говорит, что произведения сопротивлений противоположных плеч равны: \(R_1\) и \(R_x\) с одной стороны, \(R_2\) и \(R_3\) — с другой.

\(R_1\) и \(R_2\) — плечи отношения, \(R_3\) — регулируемое плечо. В школьной лаборатории \(R_3\) — магазин сопротивлений: точные резисторы, которые выбирают отдельными переключателями единиц, десятков, сотен и тысяч ом. Плечи отношения задают диапазон и разрешение моста. При \(R_1 / R_2\) = 10 равновесие наступает при \(R_3\), в десять раз большем \(R_x\), поэтому магазин с шагом в целый ом находит \(R_x\) с точностью до десятой доли ома. При \(R_1 / R_2\) = 1/10 тот же магазин измеряет сопротивления в десять раз больше собственного предела. В мосте с реохордом плечи отношения — две части одной однородной проволоки, разделённые скользящим контактом. Сопротивление проволоки пропорционально её длине, поэтому \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) и \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\).

Знак показания подсказывает, в какую сторону менять \(R_3\). Когда гнездо «+» вольтметра подключено к узлу нижнего делителя, показание положительно, пока \(R_3\) слишком мало: потенциал нижнего узла тогда выше, чем верхнего. Если \(R_3\) слишком велико, показание отрицательно. Равновесие лежит между двумя значениями \(R_3\), при которых показания противоположных знаков. Каждое деление пополам оставляет ту половину, в которой ещё лежит равновесие, поэтому промежуток с каждым шагом сокращается вдвое.

Измерение при равновесии — нулевой метод. Погрешность шкалы прибора не важна, потому что ему нужно лишь показать ноль, и его сопротивление не важно, потому что ток через него не идёт. Напряжение источника сокращается в условии равновесия. Точность зависит от того, насколько хорошо известны \(R_1\), \(R_2\) и \(R_3\), и от того, насколько малый разбаланс способен заметить прибор, а один и тот же разбаланс даёт тем большее показание, чем выше напряжение источника. В измерение по закону Ома, \(R = U / I\), входят погрешности шкал двух приборов, и показание одного из них всегда относится не к одному \(R_x\): либо вольтметр учитывает и напряжение на амперметре, либо амперметр — и ток вольтметра (см. лабораторную работу Включение амперметра и вольтметра). Классический нуль-индикатор моста — гальванометр с нулём посередине шкалы, чувствительный измеритель малых токов. На нашем стенде эту роль играет вольтметр, который различает даже микровольты.

Сэмюэл Хантер Кристи описал эту схему в 1833 году, а Чарльз Уитстон сделал её широко известной в 1843 году. В схемах с тензодатчиками и термометрами сопротивления мост применяют и сейчас, но неуравновешенный: мост уравновешивают в исходном состоянии, датчик служит одним из плеч, и напряжение на диагонали отражает малые изменения его сопротивления.

Установка

Схема в разделе «Теория» сохраняет ряды и стороны стенда: те же два ряда, «+» слева и «−» справа. Источник 5 В с внутренним сопротивлением 0,5 Ом, его «+» — на шинах слева, «−» — на шинах справа. Верхний делитель идёт по верхнему ряду: \(R_1\) = 1 кОм у «+» и \(R_2\) = 1 кОм у «−». Нижний делитель идёт по нижнему ряду: \(R_3\) = 1 кОм у «+» и неизвестный резистор \(R_x\) у «−». У \(R_x\) нет цветных полосок, а выделение показывает его номинал, поэтому не трогайте его до пункта 4. \(R_3\) играет роль магазина сопротивлений и задаётся в омах: его карточка параметров открывается в кОм, поэтому каждый раз, выделив \(R_3\), выбирайте Ом в списке единиц. Показание около −2,5 В значит, что значение введено в килоомах. Вольтметр включён в диагональ: его гнездо «+» — на шине между \(R_3\) и \(R_x\), гнездо «−» — на шине между \(R_1\) и \(R_2\). Положительное показание выводится на экран без знака.

Ход работы

1. Запишите показание вольтметра и его знак.
2. Установите \(R_3\) равным 2000 Ом и запишите показание и его знак.
3. Если показания при 1000 Ом и 2000 Ом противоположных знаков, равновесие лежит между ними. Установите \(R_3\) равным середине промежутка и оставьте ту половину, на концах которой показания противоположных знаков. Повторяйте, округляя до целых ом, пока концы промежутка не будут отличаться на 1 Ом, и записывайте каждое значение \(R_3\) с его показанием в таблицу. Запишите то значение \(R_3\), при котором показание ближе к нулю.
4. Вычислите \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Выделите \(R_x\), чтобы узнать его номинал, и сравните его с результатом.
5. Оставив \(R_3\) в равновесии, поднимите напряжение источника до 10 В и запишите показание. Затем установите \(R_3\) на 1 Ом больше значения равновесия и сравните показание с показанием при 5 В из пункта 3. Верните \(R_3\) значение равновесия, а источнику — напряжение 5 В.
6. Установите \(R_1\) равным 2 кОм. По \(R_x\) из пункта 4 предскажите, при каком значении \(R_3\) мост теперь уравновешен. Установите \(R_3\) равным предсказанию и проверьте, что на 1 Ом выше и ниже него показания противоположных знаков.

Ожидаемый результат

При \(R_3\) = 1000 Ом вольтметр показывает около 227 мВ, положительное показание. При 2000 Ом он показывает около −625 мВ: \(R_3\) перешло через равновесие. Деление промежутка пополам даёт −278 мВ при 1500 Ом, −51 мВ при 1250 Ом и 81 мВ при 1125 Ом; примерно через десять установок оно заканчивается между 1200 Ом и 1201 Ом. Показание около 18 мкВ при 1200 Ом и −1,02 мВ при 1201 Ом, значит, \(R_3\) = 1200 Ом и \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ом, это номинал \(R_x\). Точного нуля показание не достигает: сопротивление кабелей, около 0,02 Ом у каждого, добавляется к плечам неодинаково.

При 10 В мост по-прежнему уравновешен, и показание около 36 мкВ, хотя потенциалы обоих узлов выросли до 5,0 В. При 1201 Ом показание около −2,05 мВ, вдвое больше −1,02 мВ при 5 В: точка равновесия не сдвигается, но более высокое напряжение источника делает ноль острее.

При \(R_1\) = 2 кОм мост уравновешивается при \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ом, как и предсказано: \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ом. Показания около 0,46 мВ при 2399 Ом и −0,46 мВ при 2401 Ом. Изменение \(R_3\) на 1 Ом теперь соответствует 0,5 Ом \(R_x\), поэтому тот же магазин измеряет \(R_x\) вдвое точнее.

Вопросы

1. Рассчитайте по формуле делителя показания вольтметра при \(R_3\) = 1000 Ом и 2000 Ом и сравните их с показаниями из пунктов 1 и 2.
2. По показаниям на двух концах последнего промежутка в 1 Ом из пункта 3 найдите линейной интерполяцией, с точностью до десятой доли ома, значение \(R_3\), при котором показание было бы нулевым. Если у \(R_1\), \(R_2\) и \(R_3\) настоящего моста допуск 0,1%, какова погрешность \(R_x\)?
3. \(R_x\) — тензодатчик, и мост уравновешен, как в конце пункта 3. Датчик растягивают, и его сопротивление увеличивается на 1 Ом. Что покажет вольтметр и почему в схеме с тензодатчиком используют мост, а не вольтметр на одном датчике?

Ответы

1. Узел верхнего делителя при любом \(R_3\) под потенциалом 5 В × 1000 / 2000 = 2,500 В. При \(R_3\) = 1000 Ом потенциал нижнего узла 5 В × 1200 / 2200 ≈ 2,727 В, и вольтметр показывает 2,727 − 2,500 ≈ 0,227 В. При 2000 Ом потенциал нижнего узла 5 В × 1200 / 3200 = 1,875 В, и показание 1,875 − 2,500 = −0,625 В. Расчёт расходится с показаниями меньше чем на 1 мВ. Расхождение даёт в основном внутреннее сопротивление источника 0,5 Ом и в меньшей степени 10 МОм вольтметра и кабели.
2. Показание около 18 мкВ при 1200 Ом и −1,02 мВ при 1201 Ом, то есть оно падает примерно на 1,04 мВ на ом. Ноль лежит на 0,018 / 1,04 ≈ 0,02 пути от 1200 Ом к 1201 Ом, при \(R_3\) ≈ 1200,0 Ом. Прибор находит ноль с запасом внутри одного шага магазина, поэтому результат ограничивает шаг в 1 Ом: 1 Ом от 1200 Ом — меньше 0,1%. В настоящем мосте относительные погрешности трёх резисторов в \(R_3 \cdot R_2 / R_1\) складываются, и погрешность \(R_x\) может достигать 0,3%.
3. Вблизи равновесия изменение \(\Delta R_x\) меняет показание на \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\): 5 В × 1200 / 2400² × 1 Ом ≈ 1,04 мВ, положительное показание. На одном датчике тот же 1 Ом изменил бы напряжение около 2,5 В примерно на 1 мВ, и для такого измерения нужен прибор, различающий 0,04% показания, и источник, который не уходит на столько же. Мост вычитает постоянные 2,5 В: изменение начинается от нуля, его показывает чувствительный предел, а уход напряжения источника не сдвигает ноль.