Pont de Wheatstone

Programmes : A-level (extension), Sek II

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Objectif

Équilibrer un pont de Wheatstone et déterminer une résistance inconnue à partir de trois résistances connues par une méthode de zéro.

Théorie

Un pont de Wheatstone est formé de deux diviseurs de tension branchés sur la même source. Dans le diviseur du haut, le courant traverse \(R_1\) puis \(R_2\) ; dans celui du bas, \(R_3\) puis \(R_x\). Chacune des quatre résistances est une branche du pont. Par rapport à la borne « − » de la source, le nœud du diviseur du haut est au potentiel \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\), et celui du bas au potentiel \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) (voir l’expérience Diviseur de tension à potentiomètre). Un voltmètre branché entre les deux nœuds forme la diagonale du pont et indique la différence de potentiel entre eux.

Le pont est équilibré quand les deux nœuds sont au même potentiel : le voltmètre indique zéro, et aucun courant ne circule dans la diagonale. L’égalité des potentiels s’écrit \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\). En inversant les deux fractions et en retranchant 1 de chaque membre, on obtient la condition d’équilibre \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\), d’où la résistance inconnue \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Écrite sous la forme \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\), la condition dit que les produits des branches opposées sont égaux : \(R_1\) et \(R_x\) d’un côté, \(R_2\) et \(R_3\) de l’autre.

\(R_1\) et \(R_2\) sont les branches de rapport, et \(R_3\) est la branche réglable. Au laboratoire du lycée, \(R_3\) est une boîte à décades : des résistances de précision choisies chacune par un commutateur pour les unités, les dizaines, les centaines et les milliers d’ohms. Les branches de rapport fixent l’étendue de mesure et la résolution du pont. Avec \(R_1 / R_2\) = 10, l’équilibre est atteint pour une valeur de \(R_3\) dix fois plus grande que \(R_x\), si bien qu’une boîte qui progresse par pas d’un ohm entier donne \(R_x\) au dixième d’ohm près. Avec \(R_1 / R_2\) = 1/10, la même boîte mesure des résistances dix fois plus grandes que sa propre étendue. Dans un pont à fil, les branches de rapport sont les deux parties d’un même fil homogène, séparées par un contact glissant. La résistance d’un fil est proportionnelle à sa longueur, donc \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) et \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\).

Le signe de l’indication montre dans quel sens modifier \(R_3\). Avec la borne « + » du voltmètre sur le nœud du bas, l’indication est positive tant que \(R_3\) est trop petite, car le nœud du bas est alors à un potentiel plus élevé que celui du haut. Quand \(R_3\) est trop grande, l’indication est négative. Le point d’équilibre se trouve entre deux valeurs de \(R_3\) qui donnent des indications de signes opposés. Chaque division par deux garde la moitié qui contient encore le point d’équilibre, si bien que l’intervalle est réduit de moitié à chaque étape.

La mesure à l’équilibre est une méthode de zéro. L’erreur d’échelle de l’appareil n’intervient pas, car il n’a qu’à indiquer zéro, et sa résistance n’intervient pas, car aucun courant ne le traverse. La tension de la source disparaît de la condition d’équilibre. La précision dépend de la connaissance de \(R_1\), \(R_2\) et \(R_3\) et du plus petit déséquilibre que l’appareil peut détecter, et ce déséquilibre donne une indication plus grande sous une tension de source plus élevée. Une mesure par la loi d’Ohm, \(R = U / I\), cumule les erreurs d’échelle de deux appareils, et l’un d’eux indique toujours plus que ce qui revient à \(R_x\) : soit le voltmètre inclut la tension aux bornes de l’ampèremètre, soit l’ampèremètre inclut le courant du voltmètre (voir l’expérience Branchement de l'ampèremètre et du voltmètre). Le détecteur traditionnel d’un pont est un galvanomètre à zéro central, un appareil sensible aux faibles courants. Sur notre montage, un voltmètre qui mesure jusqu’au microvolt joue le même rôle.

Samuel Hunter Christie a décrit ce circuit en 1833, et Charles Wheatstone l’a fait largement connaître en 1843. Les circuits à jauges de contrainte et à thermomètres à résistance utilisent encore le pont en déséquilibre : le pont est équilibré dans un état de référence, le capteur forme l’une des branches, et la tension aux bornes de la diagonale suit les petites variations de sa résistance.

Le montage

Le schéma de la partie « Théorie » conserve les rangées et les côtés du montage : les mêmes deux rangées, « + » à gauche et « − » à droite. Une source de 5 V de résistance interne 0,5 Ω, son « + » sur les bus de gauche et son « − » sur les bus de droite. Le diviseur du haut occupe la rangée du haut, avec \(R_1\) = 1 kΩ près du « + » et \(R_2\) = 1 kΩ près du « − ». Le diviseur du bas occupe la rangée du bas, avec \(R_3\) = 1 kΩ près du « + » et la résistance inconnue \(R_x\) près du « − ». \(R_x\) n’a pas d’anneaux de couleur, et la sélectionner affiche sa valeur : n’y touchez donc pas avant l’étape 4. \(R_3\) sert de boîte à décades et se règle en ohms : son panneau des paramètres s’ouvre en kΩ, choisissez donc Ω dans la liste des unités chaque fois que vous sélectionnez \(R_3\). Une indication proche de −2,5 V signifie que la valeur a été saisie en kΩ. Le voltmètre est dans la diagonale, sa borne « + » sur le bus entre \(R_3\) et \(R_x\) et sa borne « − » sur le bus entre \(R_1\) et \(R_2\). Une indication positive s’affiche à l’écran sans signe.

Protocole

1. Notez l’indication du voltmètre et son signe.
2. Réglez \(R_3\) sur 2000 Ω et notez l’indication et son signe.
3. Si les indications à 1000 Ω et à 2000 Ω sont de signes opposés, le point d’équilibre se trouve entre les deux. Réglez \(R_3\) au milieu de l’intervalle et gardez la moitié dont les extrémités donnent des indications de signes opposés. Recommencez, en arrondissant à l’ohm entier, jusqu’à ce que les extrémités soient à 1 Ω l’une de l’autre, et notez chaque valeur de \(R_3\) avec son indication dans un tableau. Notez la valeur de \(R_3\) dont l’indication est la plus proche de zéro.
4. Calculez \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Sélectionnez \(R_x\) pour lire sa valeur nominale et comparez-la au résultat.
5. En laissant \(R_3\) à l’équilibre, portez la tension de la source à 10 V et notez l’indication. Réglez ensuite \(R_3\) 1 Ω au-dessus de la valeur d’équilibre et comparez l’indication à celle obtenue à 5 V à l’étape 3. Remettez \(R_3\) à la valeur d’équilibre et la source à 5 V.
6. Réglez \(R_1\) sur 2 kΩ. À partir de \(R_x\) trouvée à l’étape 4, prévoyez la valeur de \(R_3\) qui équilibre maintenant le pont. Réglez \(R_3\) sur la valeur prévue et vérifiez que les indications 1 Ω au-dessus et 1 Ω en dessous sont de signes opposés.

Résultat attendu

Avec \(R_3\) = 1000 Ω, le voltmètre indique environ 227 mV, une indication positive. À 2000 Ω, il indique environ −625 mV : \(R_3\) a dépassé le point d’équilibre. La division de l’intervalle par deux donne −278 mV à 1500 Ω, −51 mV à 1250 Ω et 81 mV à 1125 Ω, et se termine après une dizaine de réglages entre 1200 Ω et 1201 Ω. L’indication est d’environ 18 µV à 1200 Ω et −1,02 mV à 1201 Ω, donc \(R_3\) = 1200 Ω et \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω, la valeur nominale de \(R_x\). L’indication n’atteint pas exactement zéro, car les câbles, d’environ 0,02 Ω chacun, s’ajoutent inégalement aux branches.

À 10 V, le pont reste équilibré, et l’indication est d’environ 36 µV, bien que les deux nœuds soient montés à 5,0 V. À 1201 Ω, l’indication est d’environ −2,05 mV, deux fois les −1,02 mV obtenus à 5 V : le point d’équilibre ne se déplace pas, mais une tension de source plus élevée rend le zéro plus net.

Avec \(R_1\) = 2 kΩ, le pont s’équilibre pour \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω, comme prévu : \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω. Les indications sont d’environ 0,46 mV à 2399 Ω et −0,46 mV à 2401 Ω. Une variation de 1 Ω de \(R_3\) correspond maintenant à 0,5 Ω de \(R_x\), donc la même boîte mesure \(R_x\) deux fois plus finement.

Questions

1. Calculez les indications du voltmètre pour \(R_3\) = 1000 Ω et 2000 Ω à l’aide de la formule du diviseur et comparez-les aux indications des étapes 1 et 2.
2. À partir des indications aux deux extrémités de votre dernier intervalle de 1 Ω à l’étape 3, trouvez par interpolation linéaire, au dixième d’ohm près, la valeur de \(R_3\) pour laquelle l’indication serait nulle. Si \(R_1\), \(R_2\) et \(R_3\) d’un pont réel ont chacune une tolérance de 0,1 %, quelle est l’incertitude sur \(R_x\) ?
3. \(R_x\) est une jauge de contrainte, et le pont est équilibré comme à la fin de l’étape 3. La jauge est étirée, et sa résistance augmente de 1 Ω. Qu’indique le voltmètre, et pourquoi un circuit à jauge de contrainte utilise-t-il le pont plutôt qu’un voltmètre branché aux bornes de la jauge seule ?

Réponses

1. Le nœud du haut est à 5 V × 1000 / 2000 = 2,500 V quelle que soit \(R_3\). Pour \(R_3\) = 1000 Ω, celui du bas est à 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2,727 V, et le voltmètre indique 2,727 − 2,500 ≈ 0,227 V. À 2000 Ω, le nœud du bas est à 5 V × 1200 / 3200 = 1,875 V, et l’indication vaut 1,875 − 2,500 = −0,625 V. Les valeurs calculées diffèrent des indications de moins de 1 mV. L’écart vient surtout de la résistance interne de 0,5 Ω de la source, et dans une moindre mesure des 10 MΩ du voltmètre et des câbles.
2. L’indication est d’environ 18 µV à 1200 Ω et −1,02 mV à 1201 Ω, elle diminue donc d’environ 1,04 mV par ohm. Le zéro se trouve à 0,018 / 1,04 ≈ 0,02 du chemin de 1200 Ω à 1201 Ω, pour \(R_3\) ≈ 1200,0 Ω. L’appareil situe le zéro bien à l’intérieur d’un pas de la boîte, donc ce sont les pas de 1 Ω qui limitent le résultat : 1 Ω sur 1200 Ω, c’est moins de 0,1 %. Dans un pont réel, les incertitudes relatives des trois résistances s’ajoutent dans \(R_3 \cdot R_2 / R_1\), et l’incertitude sur \(R_x\) peut atteindre 0,3 %.
3. Près de l’équilibre, une variation \(\Delta R_x\) modifie l’indication de \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\) : 5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1,04 mV, une indication positive. Aux bornes de la jauge seule, le même 1 Ω ferait varier une tension d’environ 2,5 V d’environ 1 mV, et pour le lire il faudrait un appareil qui résout 0,04 % de son indication, avec une source qui ne dérive pas d’autant. Le pont retranche les 2,5 V constants : la variation part de zéro, un calibre sensible l’affiche, et une dérive de la tension de la source ne déplace pas le zéro.