Ponte de Wheatstone

Currículos: A-level (extension), Sek II

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Objetivo

Equilibrar uma ponte de Wheatstone e determinar uma resistência desconhecida a partir de três conhecidas por um método de zero.

Teoria

Uma ponte de Wheatstone são dois divisores de tensão ligados à mesma fonte. No divisor de cima a corrente passa por \(R_1\) e depois por \(R_2\); no de baixo, por \(R_3\) e depois por \(R_x\). Cada um dos quatro resistores é um braço da ponte. Em relação ao polo “−” da fonte, o nó do divisor de cima está a um potencial de \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\), e o do divisor de baixo a \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) (veja o experimento Divisor de tensão com potenciômetro). Um voltímetro ligado entre os dois nós forma a diagonal da ponte e indica a diferença de potencial entre eles.

A ponte está equilibrada quando os dois nós estão no mesmo potencial: o voltímetro indica zero, e não passa corrente pela diagonal. Potenciais iguais significam \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\). Invertendo as duas frações e subtraindo 1 de cada membro, obtém-se a condição de equilíbrio \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\), de modo que a resistência desconhecida é \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Escrita como \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\), a condição diz que os produtos dos braços opostos são iguais: \(R_1\) e \(R_x\) de um lado, \(R_2\) e \(R_3\) do outro.

\(R_1\) e \(R_2\) são os braços de razão, e \(R_3\) é o braço variável. Em um laboratório escolar, \(R_3\) é uma caixa de resistências: resistores de precisão selecionados com um seletor para cada ordem, as unidades, dezenas, centenas e milhares de ohms. Os braços de razão definem a faixa e a resolução da ponte. Com \(R_1 / R_2\) = 10, o equilíbrio ocorre com \(R_3\) dez vezes maior que \(R_x\), então uma caixa que avança de ohm em ohm determina \(R_x\) com precisão de um décimo de ohm. Com \(R_1 / R_2\) = 1/10, a mesma caixa mede resistências dez vezes acima da sua própria faixa. Em uma ponte de fio, os braços de razão são as duas partes de um mesmo fio homogêneo, separadas por um contato deslizante. A resistência de um fio é proporcional ao seu comprimento, então \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) e \(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\).

O sinal da leitura mostra em que sentido alterar \(R_3\). Com o borne “+” do voltímetro no nó de baixo, a leitura é positiva enquanto \(R_3\) é pequeno demais, porque o nó de baixo fica então em um potencial mais alto que o de cima. Quando \(R_3\) é grande demais, a leitura é negativa. O ponto de equilíbrio está entre dois valores de \(R_3\) que dão leituras de sinais opostos. Cada divisão ao meio mantém a metade que ainda contém o ponto de equilíbrio, então o intervalo cai pela metade a cada passo.

Medir no equilíbrio é um método de zero. O erro de escala do medidor não importa, porque ele só precisa indicar zero, e a sua resistência não importa, porque não passa corrente por ele. A tensão da fonte se cancela na condição de equilíbrio. A precisão depende de quão bem são conhecidos \(R_1\), \(R_2\) e \(R_3\) e de quão pequeno é o desequilíbrio que o medidor consegue detectar, e esse desequilíbrio dá uma leitura maior com uma tensão da fonte mais alta. Uma medição pela lei de Ohm, \(R = U / I\), carrega os erros de escala de dois medidores, e um deles sempre indica mais do que cabe a \(R_x\): ou o voltímetro inclui a tensão no amperímetro, ou o amperímetro inclui a corrente do voltímetro (veja o experimento Ligação do amperímetro e do voltímetro). O detector tradicional de uma ponte é um galvanômetro de zero central, um medidor sensível de correntes pequenas. Na nossa montagem, um voltímetro que mede até microvolts faz o mesmo papel.

Samuel Hunter Christie descreveu o circuito em 1833, e Charles Wheatstone o tornou amplamente conhecido em 1843. Circuitos de extensômetros e de termômetros de resistência ainda usam a ponte no modo de desequilíbrio: a ponte é equilibrada em um estado de referência, o sensor forma um dos braços, e a tensão na diagonal acompanha as pequenas variações da sua resistência.

A montagem

O esquema da “Teoria” mantém as fileiras e os lados da montagem: as mesmas duas fileiras, “+” à esquerda e “−” à direita. Uma fonte de 5 V com resistência interna de 0,5 Ω, com o “+” nos barramentos da esquerda e o “−” nos barramentos da direita. O divisor de cima ocupa a fileira de cima, com \(R_1\) = 1 kΩ junto ao “+” e \(R_2\) = 1 kΩ junto ao “−”. O divisor de baixo ocupa a fileira de baixo, com \(R_3\) = 1 kΩ junto ao “+” e o resistor desconhecido \(R_x\) junto ao “−”. \(R_x\) não tem faixas de cores, e selecioná-lo mostra o seu valor, então deixe-o para o passo 4. \(R_3\) faz o papel da caixa de resistências e é ajustado em ohms: o seu cartão de parâmetros abre em kΩ, então escolha Ω na lista de unidades sempre que selecionar \(R_3\). Uma leitura perto de −2,5 V significa que o valor entrou em kΩ. O voltímetro está na diagonal, com o borne “+” no barramento entre \(R_3\) e \(R_x\) e o borne “−” no barramento entre \(R_1\) e \(R_2\). Uma leitura positiva não tem sinal na tela.

Procedimento

1. Anote a leitura do voltímetro e o seu sinal.
2. Ajuste \(R_3\) para 2000 Ω e anote a leitura e o seu sinal.
3. Se as leituras com 1000 Ω e 2000 Ω têm sinais opostos, o ponto de equilíbrio está entre elas. Ajuste \(R_3\) para o meio do intervalo e mantenha a metade cujas extremidades dão leituras de sinais opostos. Repita, arredondando para ohms inteiros, até que as extremidades fiquem a 1 Ω uma da outra, e registre numa tabela cada valor de \(R_3\) com a sua leitura. Anote o valor de \(R_3\) cuja leitura está mais perto de zero.
4. Calcule \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). Selecione \(R_x\) para ler o seu valor nominal e compare-o com o resultado.
5. Mantendo \(R_3\) no equilíbrio, aumente a tensão da fonte para 10 V e anote a leitura. Depois ajuste \(R_3\) 1 Ω acima do valor de equilíbrio e compare a leitura com a obtida a 5 V no passo 3. Volte \(R_3\) ao valor de equilíbrio e a fonte a 5 V.
6. Ajuste \(R_1\) para 2 kΩ. A partir do \(R_x\) encontrado no passo 4, preveja o valor de \(R_3\) que equilibra a ponte agora. Ajuste \(R_3\) para o valor previsto e verifique que as leituras 1 Ω acima e 1 Ω abaixo dele têm sinais opostos.

Resultado esperado

Com \(R_3\) = 1000 Ω o voltímetro indica cerca de 227 mV, uma leitura positiva. Com 2000 Ω indica cerca de −625 mV: \(R_3\) passou do ponto de equilíbrio. Dividindo o intervalo ao meio, obtêm-se −278 mV com 1500 Ω, −51 mV com 1250 Ω e 81 mV com 1125 Ω, e depois de uns dez ajustes chega-se ao intervalo entre 1200 Ω e 1201 Ω. A leitura é de cerca de 18 µV com 1200 Ω e −1,02 mV com 1201 Ω, então \(R_3\) = 1200 Ω e \(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω, o valor nominal de \(R_x\). A leitura não chega exatamente a zero porque os cabos, de cerca de 0,02 Ω cada, se somam aos braços de forma desigual.

Com 10 V a ponte continua equilibrada, e a leitura é de cerca de 36 µV, embora os dois nós tenham subido para 5,0 V. Com 1201 Ω a leitura é de cerca de −2,05 mV, o dobro dos −1,02 mV a 5 V: o ponto de equilíbrio não se desloca, mas uma tensão da fonte mais alta torna o zero mais nítido.

Com \(R_1\) = 2 kΩ a ponte se equilibra com \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω, como previsto: \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω. As leituras são de cerca de 0,46 mV com 2399 Ω e −0,46 mV com 2401 Ω. Uma variação de 1 Ω em \(R_3\) corresponde agora a 0,5 Ω de \(R_x\), então a mesma caixa mede \(R_x\) com o dobro da finura.

Questões

1. Calcule as leituras do voltímetro com \(R_3\) = 1000 Ω e 2000 Ω pela fórmula do divisor e compare-as com as leituras dos passos 1 e 2.
2. A partir das leituras nas duas extremidades do seu último intervalo de 1 Ω no passo 3, determine por interpolação linear, com precisão de um décimo de ohm, o valor de \(R_3\) com o qual a leitura seria zero. Se \(R_1\), \(R_2\) e \(R_3\) de uma ponte real têm cada um uma tolerância de 0,1%, qual é a incerteza de \(R_x\)?
3. \(R_x\) é um extensômetro, e a ponte está equilibrada como no fim do passo 3. O extensômetro é esticado, e a sua resistência aumenta 1 Ω. O que o voltímetro indica, e por que um circuito de extensômetro usa a ponte em vez de um voltímetro ligado só ao extensômetro?

Respostas

1. O nó de cima está a 5 V × 1000 / 2000 = 2,500 V para qualquer \(R_3\). Com \(R_3\) = 1000 Ω o de baixo está a 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2,727 V, e o voltímetro indica 2,727 − 2,500 ≈ 0,227 V. Com 2000 Ω o nó de baixo está a 5 V × 1200 / 3200 = 1,875 V, e a leitura é 1,875 − 2,500 = −0,625 V. Os valores calculados diferem das leituras em menos de 1 mV. A diferença vem principalmente da resistência interna de 0,5 Ω da fonte e, em menor grau, dos 10 MΩ do voltímetro e dos cabos.
2. A leitura é de cerca de 18 µV com 1200 Ω e −1,02 mV com 1201 Ω, então cai cerca de 1,04 mV por ohm. O zero fica a 0,018 / 1,04 ≈ 0,02 do caminho de 1200 Ω a 1201 Ω, em \(R_3\) ≈ 1200,0 Ω. O medidor localiza o zero bem dentro de um passo da caixa, então são os passos de 1 Ω que limitam o resultado: 1 Ω em 1200 Ω é menos de 0,1%. Em uma ponte real as incertezas percentuais dos três resistores se somam em \(R_3 \cdot R_2 / R_1\), e a incerteza de \(R_x\) pode chegar a 0,3%.
3. Perto do equilíbrio, uma variação \(\Delta R_x\) altera a leitura em \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\): 5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1,04 mV, uma leitura positiva. Com um voltímetro só no extensômetro, o mesmo 1 Ω alteraria uma tensão de cerca de 2,5 V em cerca de 1 mV, e para medir essa variação seria preciso um medidor que resolva 0,04% da sua leitura, com uma fonte que não varie tanto. A ponte subtrai os 2,5 V constantes: a variação parte do zero, uma faixa sensível a mostra, e uma deriva da tensão da fonte não desloca o zero.