قنطرة ويتستون

المناهج: A-level (extension), Sek II

فتح المختبر الكامل ↗

الهدف

تحقيق اتزان قنطرة ويتستون وإيجاد مقاومة مجهولة من ثلاث مقاومات معلومة بطريقة الصفر.

الخلفية النظرية

قنطرة ويتستون مقسّما جهد موصولان بالمصدر نفسه. في المقسّم العلوي يمر التيار عبر \(R_1\) ثم عبر \(R_2\)، وفي السفلي عبر \(R_3\) ثم عبر \(R_x\). وكل واحدة من المقاومات الأربع ذراعٌ من أذرع القنطرة. بالنسبة إلى الطرف «−» للمصدر، تكون عقدة المقسّم العلوي عند جهد \(U \cdot R_2 / (R_1 + R_2)\)، وعقدة السفلي عند \(U \cdot R_x / (R_3 + R_x)\) (انظر مختبر مقسّم الجهد بالبوتنشيومتر). والفولتميتر الموصول بين العقدتين يشكّل قطر القنطرة ويقرأ فرق الجهد بينهما.

تكون القنطرة متزنة عندما تكون العقدتان عند الجهد نفسه: يقرأ الفولتميتر صفرًا، ولا يمر تيار في القطر. وتساوي الجهدين يعني \(R_2 / (R_1 + R_2) = R_x / (R_3 + R_x)\). وبقلب الكسرين وطرح 1 من كل طرف نحصل على شرط الاتزان \(R_1 / R_2 = R_3 / R_x\)، فتكون المقاومة المجهولة \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). وإذا كُتب الشرط على الصورة \(R_1 \cdot R_x = R_2 \cdot R_3\)، فهو يقول إن حاصلي ضرب الذراعين المتقابلتين متساويان: \(R_1\) و\(R_x\) من جهة، و\(R_2\) و\(R_3\) من الجهة الأخرى.

\(R_1\) و\(R_2\) ذراعا النسبة، و\(R_3\) الذراع المتغيرة. في مختبر المدرسة تكون \(R_3\) صندوق مقاومات: مقاومات دقيقة تُختار بقرص واحد لكلٍّ من آحاد الأومات وعشراتها ومئاتها وآلافها. يحدد ذراعا النسبة مدى القنطرة ودقة تمييزها. عندما تكون \(R_1 / R_2\) = 10 تتزن القنطرة عند قيمة لـ\(R_3\) تساوي عشرة أضعاف \(R_x\)، فالصندوق الذي يتدرج بالأوم الكامل يجد \(R_x\) إلى عُشر الأوم. وعندما تكون \(R_1 / R_2\) = 1/10 يقيس الصندوق نفسه مقاومات تزيد على مداه بعشرة أضعاف. وفي قنطرة المتر يكون ذراعا النسبة جزأي سلك منتظم واحد يفصل بينهما تماس منزلق. مقاومة السلك تتناسب مع طوله، لذا \(R_1 / R_2 = l_1 / l_2\) و\(R_x = R_3 \cdot l_2 / l_1\).

تُبيّن إشارة القراءة في أي اتجاه تُغيَّر \(R_3\). عندما يكون المقبس «+» للفولتميتر على العقدة السفلية، تكون القراءة موجبة ما دامت \(R_3\) أصغر مما ينبغي، لأن العقدة السفلية تكون عندئذ عند جهد أعلى من العلوية. وعندما تكون \(R_3\) أكبر مما ينبغي تكون القراءة سالبة. تقع نقطة الاتزان بين قيمتين لـ\(R_3\) تعطيان قراءتين مختلفتين في الإشارة. وكل تنصيف يُبقي النصف الذي لا يزال يحوي نقطة الاتزان، فتضيق الفترة إلى النصف في كل خطوة.

القياس عند الاتزان طريقةُ صفر. لا يهم خطأ تدريج الجهاز، لأن عليه أن يُظهر الصفر فقط، ولا تهم مقاومته، لأنه لا يمر فيه تيار. ويُختصر جهد المصدر من شرط الاتزان. تتوقف الدقة على مدى معرفة \(R_1\) و\(R_2\) و\(R_3\)، وعلى صِغَر عدم الاتزان الذي يستطيع الجهاز كشفه، وعدم الاتزان هذا يعطي قراءة أكبر عند جهد مصدر أعلى. أما القياس بقانون أوم، \(R = U / I\)، فيحمل أخطاء تدريج جهازين، وأحدهما يقرأ دائمًا أكثر مما يخص \(R_x\): فإما أن يشمل الفولتميتر الجهد على الأميتر، وإما أن يشمل الأميتر تيار الفولتميتر (انظر مختبر توصيل الأميتر والفولتميتر). والكاشف التقليدي للقنطرة جلفانومتر صفره في منتصف التدريج، وهو جهاز حساس لقياس التيارات الصغيرة. وعلى منضدتنا يؤدي المهمة نفسها فولتميتر يقرأ حتى الميكروفولتات.

وصف صمويل هنتر كريستي هذه الدائرة عام 1833، وجعلها تشارلز ويتستون معروفة على نطاق واسع عام 1843. ولا تزال دوائر مقاييس الانفعال ومقاييس الحرارة المقاومية تستخدم القنطرة في وضع الانحراف: تُضبط القنطرة على الاتزان في حالة مرجعية، ويشكّل المجس إحدى أذرعها، ويتبع الجهدُ على القطر التغيراتِ الصغيرة في مقاومته.

التجهيز

يحافظ المخطط في «الخلفية النظرية» على صفوف المنضدة وجهاتها: الصفان أنفسهما، و«+» على اليسار و«−» على اليمين. مصدر 5 V مقاومته الداخلية 0.5 Ω، طرفه «+» على النواقل في اليسار وطرفه «−» على النواقل في اليمين. يمتد المقسّم العلوي على الصف العلوي، و\(R_1\) = 1 kΩ بجوار «+» و\(R_2\) = 1 kΩ بجوار «−». ويمتد المقسّم السفلي على الصف السفلي، و\(R_3\) = 1 kΩ بجوار «+» والمقاومة المجهولة \(R_x\) بجوار «−». ليس لـ\(R_x\) أشرطة لونية، وتحديدها يُظهر قيمتها، فاتركها حتى الخطوة 4. تؤدي \(R_3\) دور صندوق المقاومات وتُضبط بالأوم: تُفتح بطاقة المعاملات الخاصة بها بوحدة kΩ، فاختر Ω من قائمة الوحدات في كل مرة تحدد فيها \(R_3\). والقراءة القريبة من −2.5 V تعني أن القيمة أُدخلت بوحدة kΩ. الفولتميتر في القطر، ومقبسه «+» على الناقل بين \(R_3\) و\(R_x\)، ومقبسه «−» على الناقل بين \(R_1\) و\(R_2\). ولا تظهر أمام القراءة الموجبة أي إشارة على الشاشة.

خطوات العمل

1. سجّل قراءة الفولتميتر وإشارتها.
2. اضبط \(R_3\) على 2000 Ω وسجّل القراءة وإشارتها.
3. إذا كانت القراءتان عند 1000 Ω و2000 Ω مختلفتين في الإشارة، فنقطة الاتزان تقع بينهما. اضبط \(R_3\) على منتصف الفترة، واحتفظ بالنصف الذي يعطي طرفاه قراءتين مختلفتين في الإشارة. كرّر ذلك مع التقريب إلى أومات كاملة حتى يصبح الفرق بين الطرفين 1 Ω، وسجّل في جدول كل قيمة لـ\(R_3\) مع قراءتها. سجّل قيمة \(R_3\) التي تكون قراءتها أقرب إلى الصفر.
4. احسب \(R_x = R_3 \cdot R_2 / R_1\). حدِّد \(R_x\) لتقرأ قيمتها الاسمية، وقارنها بالنتيجة.
5. مع إبقاء \(R_3\) عند قيمة الاتزان، ارفع جهد المصدر إلى 10 V وسجّل القراءة. ثم اضبط \(R_3\) على قيمة تزيد 1 Ω على قيمة الاتزان، وقارن القراءة بالقراءة عند 5 V من الخطوة 3. أعد \(R_3\) إلى قيمة الاتزان والمصدر إلى 5 V.
6. اضبط \(R_1\) على 2 kΩ. انطلاقًا من \(R_x\) التي وجدتها في الخطوة 4، تنبّأ بقيمة \(R_3\) التي تجعل القنطرة متزنة الآن. اضبط \(R_3\) على القيمة المتنبأ بها، وتحقق من أن القراءتين عند 1 Ω فوقها و1 Ω تحتها مختلفتان في الإشارة.

النتيجة المتوقعة

عند \(R_3\) = 1000 Ω يقرأ الفولتميتر نحو 227 mV، وهي قراءة موجبة. وعند 2000 Ω يقرأ نحو −625 mV: تجاوزت \(R_3\) نقطة الاتزان. يعطي تنصيف الفترة −278 mV عند 1500 Ω، و−51 mV عند 1250 Ω، و81 mV عند 1125 Ω، وينتهي بعد نحو عشرة ضبطات بين 1200 Ω و1201 Ω. القراءة نحو 18 µV عند 1200 Ω و−1.02 mV عند 1201 Ω، فتكون \(R_3\) = 1200 Ω و\(R_x\) = 1200 × 1000 / 1000 = 1200 Ω، وهي القيمة الاسمية لـ\(R_x\). ولا تبلغ القراءة الصفر تمامًا، لأن الكابلات، ومقاومة كلٍّ منها نحو 0.02 Ω، تُضاف إلى الأذرع بقدر غير متساوٍ.

عند 10 V تبقى القنطرة متزنة، والقراءة نحو 36 µV، مع أن جهد كلتا العقدتين ارتفع إلى 5.0 V. وعند 1201 Ω تكون القراءة نحو −2.05 mV، أي ضعف −1.02 mV عند 5 V: لا تتحرك نقطة الاتزان، لكن جهد المصدر الأعلى يجعل الصفر أكثر حدة.

مع \(R_1\) = 2 kΩ تتزن القنطرة عند \(R_3\) = \(R_x \cdot R_1 / R_2\) = 2400 Ω، كما كان متوقعًا: \(R_x\) = 2400 × 1000 / 2000 = 1200 Ω. والقراءتان نحو 0.46 mV عند 2399 Ω و−0.46 mV عند 2401 Ω. تغيّر \(R_3\) بمقدار 1 Ω يعادل الآن 0.5 Ω من \(R_x\)، فيقيس الصندوق نفسه \(R_x\) بدقة مضاعفة.

الأسئلة

1. احسب من صيغة المقسّم قراءتي الفولتميتر عند \(R_3\) = 1000 Ω و2000 Ω، وقارنهما بالقراءتين من الخطوتين 1 و2.
2. من القراءتين عند طرفي آخر فترة طولها 1 Ω في الخطوة 3، أوجد بالاستكمال الخطي، إلى عُشر الأوم، قيمة \(R_3\) التي تكون عندها القراءة صفرًا. إذا كان تفاوت كلٍّ من \(R_1\) و\(R_2\) و\(R_3\) في قنطرة حقيقية 0.1%، فما مقدار عدم اليقين في \(R_x\)؟
3. \(R_x\) مقياس انفعال، والقنطرة متزنة كما في نهاية الخطوة 3. يُشدّ المقياس فترتفع مقاومته بمقدار 1 Ω. ماذا يقرأ الفولتميتر، ولماذا تستخدم دائرة مقياس الانفعال القنطرة بدلًا من فولتميتر على المقياس وحده؟

الإجابات

1. تكون العقدة العلوية عند 5 V × 1000 / 2000 = 2.500 V مهما كانت \(R_3\). عند \(R_3\) = 1000 Ω تكون السفلية عند 5 V × 1200 / 2200 ≈ 2.727 V، ويقرأ الفولتميتر 2.727 − 2.500 ≈ 0.227 V. وعند 2000 Ω تكون العقدة السفلية عند 5 V × 1200 / 3200 = 1.875 V، والقراءة 1.875 − 2.500 = −0.625 V. تختلف القيم المحسوبة عن القراءات بأقل من 1 mV. ويأتي الفرق أساسًا من المقاومة الداخلية للمصدر 0.5 Ω، وبدرجة أقل من مقاومة الفولتميتر 10 MΩ ومن الكابلات.
2. القراءة نحو 18 µV عند 1200 Ω و−1.02 mV عند 1201 Ω، فهي تنخفض بنحو 1.04 mV لكل أوم. يقع الصفر على 0.018 / 1.04 ≈ 0.02 من المسافة بين 1200 Ω و1201 Ω، عند \(R_3\) ≈ 1200.0 Ω. يحدد الجهاز موضع الصفر داخل خطوة واحدة من خطوات الصندوق بهامش واسع، لذا فخطوات 1 Ω هي التي تحدّ النتيجة: 1 Ω من 1200 Ω أقل من 0.1%. وفي القنطرة الحقيقية تُجمع النسب المئوية لعدم اليقين في المقاومات الثلاث في \(R_3 \cdot R_2 / R_1\)، وقد يبلغ عدم اليقين في \(R_x\) نسبة 0.3%.
3. قرب الاتزان يغيّر التغيرُ \(\Delta R_x\) القراءةَ بمقدار \(U \cdot R_3 / (R_3 + R_x)^2 \cdot \Delta R_x\): 5 V × 1200 / 2400² × 1 Ω ≈ 1.04 mV، وهي قراءة موجبة. ولو قيس الجهد على المقياس وحده لغيّر التغير نفسه البالغ 1 Ω جهدًا مقداره نحو 2.5 V بنحو 1 mV، ولتطلّبت قراءته جهازًا يميّز 0.04% من قراءته، مع مصدر لا ينجرف جهده بالقدر نفسه. تطرح القنطرة الجهد الثابت 2.5 V: فيبدأ التغير من الصفر، ويُظهره مدى حساس، ولا يزيح انجراف جهد المصدر الصفر.