شحن المكثف وتفريغه بالفولتميتر

المناهج: A-level RP9, Tle (dipôle RC), AP2, APC, Sek II

فتح المختبر الكامل ↗

الهدف

تسجيل منحنيي شحن المكثف وتفريغه، وتحديد ثابت الزمن RC ومواسعة مكثفين موصولين على التوازي.

الخلفية النظرية

يخزّن المكثف الشحنة. الشحنة \(Q\) على لوحيه تتناسب طرديًا مع الجهد \(U_C\) بينهما، \(Q = C \cdot U_C\)، حيث \(C\) المواسعة، وتُقاس بالفاراد. لا يمكن لجهد المكثف أن يتغير فجأة: لكي يتغير \(U_C\) يجب أن تتدفق الشحنة إلى اللوحين أو منهما، والمقاومة \(R\) تحدّ من التيار الذي ينقلها.

في الموضع «1» يشحن المصدر \(U\) المكثف عبر \(R\). الجهد على المقاومة يساوي \(U - U_C\)، لذا يكون التيار \(I = (U - U_C) / R\): كلما اقترب \(U_C\) من \(U\) صغر التيار وتباطأ شحن المكثف. والكمية التي تتغير بمعدل يتناسب مع الفرق المتبقي تتبع دالة أسية: \(U_C = U \cdot (1 - e^{-t / RC})\). في الموضع «2» يخرج المصدر من الحلقة، ويُفرَّغ المكثف عبر المقاومة نفسها، بدءًا من الجهد \(U_0\) الذي كان عليه لحظة التحويل: \(U_C = U_0 \cdot e^{-t / RC}\).

حاصل الضرب \(\tau = R \cdot C\) هو ثابت الزمن للدائرة: الأوم مضروبًا في الفاراد يعطي الثانية. خلال \(\tau\) واحد يقطع المكثف الذي يُشحن \(1 - 1/e\)، أي نحو 63%، من الطريق إلى \(U\)، ويهبط جهد المكثف الذي يُفرَّغ إلى \(1/e\)، أي نحو 37%، من \(U_0\). وكل \(\tau\) إضافي يُقلّص الفرق المتبقي بالعامل نفسه: بعد \(3\tau\) يكتمل التغيّر بنحو 95%، وبعد \(5\tau\) بنحو 99%، وهو ما يُعدّ عادةً شحنًا كاملًا أو تفريغًا كاملًا.

بأخذ لوغاريتم معادلة التفريغ نحصل على \(\ln U_C = \ln U_0 - t / RC\): التمثيل البياني لـ\(\ln U_C\) مقابل \(t\) خط مستقيم ميله \(k = -1/RC\)، لذا \(RC = -1/k\). يستخدم الميل كل قراءات التفريغ لا نقطة واحدة من المنحنى، ولا يعتمد على الجهد الابتدائي. وإذا كانت \(R\) معلومة، أعطى ثابت الزمن المواسعة أيضًا: \(C = \tau / R\).

تُرى المنحنيات نفسها، أسرع بألف مرة، على شاشة في مختبر دائرة RC على راسم الإشارة. يشحن فلاش الكاميرا مكثفه خلال بضع ثوانٍ ويفرّغه عبر أنبوب الوميض في نحو ملّي ثانية؛ وتستخدم المؤقتات ودوائر التأخير ومكثف التنعيم في المقوّم الشحن والتفريغ نفسيهما. أما أين تذهب طاقة المصدر أثناء شحن المكثف فهو موضوع مختبر الطاقة عند شحن المكثف.

التجهيز

يحافظ المخطط في «الخلفية النظرية» على ترتيب المنضدة من اليسار إلى اليمين؛ والمصدر وحده مُدار ليقف قائمًا. مصدر \(U\) جهده 9 V، ومفتاح تحويل \(S\)، ومقاومة \(R\) قيمتها 10 kΩ، ومكثف \(C\) مواسعته 1000 µF (\(\tau\) = 10 s)، وفولتميتر على طرفي المكثف. الطرف «1» للمفتاح موصول بالطرف الموجب للمصدر، والطرف «2» بالطرف السالب، والطرف المشترك بالمقاومة. يقف \(C\) بين ناقلين، واحد على كل جانب منه، والفولتميتر موصول بهما. المفتاح في الموضع «2»، والمكثف مفرَّغ.

النقر على الذراع ينقله خطوة واحدة، من «2» إلى «مفتوح»، حيث لا يلمس أيًّا من الطرفين، ثم إلى «1»: لتحويل المفتاح اسحب ذراعه حتى النهاية أو انقر عليه مرتين. تعدّ ساعة المحاكاة في شريط الأدوات الزمن منذ فتح المختبر: سجّل قراءتها لحظة تحويل المفتاح وابدأ عدّ \(t\) منها. المكثف المأخوذ من لوحة العناصر يأتي بمواسعة 100 µF.

خطوات العمل

1. اضبط سرعة ساعة المحاكاة في شريط الأدوات على ×0.2: تستغرق دقيقة التجربة عندئذ خمس دقائق.
2. حوّل المفتاح إلى الموضع «1» وسجّل الجهد كل 5 s لمدة دقيقة.
3. حوّل المفتاح إلى الموضع «2» وسجّل الجهد أثناء التفريغ بالطريقة نفسها.
4. ارسم \(U(t)\) للشحن وللتفريغ. من منحنى الشحن اقرأ \(\tau\) على أنه الزمن الذي يستغرقه الجهد ليبلغ 5.7 V (63% من 9 V). ارسم \(\ln U(t)\) للتفريغ، على أن تكون القراءات بالفولت، وارسم أفضل خط مستقيم، وأوجد \(RC = -1/k\) من ميله \(k\). قارن القيمتين بـ\(R \cdot C\).
5. ضع مكثفًا ثانيًا فوق الأول، واضبطه على 1000 µF، وصِله بالكابلات بالناقلين على جانبي الأول، أي على التوازي.
6. حوّل المفتاح إلى الموضع «1» مرة أخرى وأوجد الزمن الذي يستغرقه الجهد ليبلغ 5.7 V. أوجد مواسعة المكثفين معًا من \(\tau = R \cdot C\).

النتيجة المتوقعة

الشحن: بعد 10 s (\(\tau\)) يبلغ الجهد نحو 5.7 V (63% من 9 V)، وبعد 30 s نحو 8.5 V (95%)، وبعد 50 s يقارب 9 V. التفريغ: خلال 10 s يهبط الجهد إلى 37% من قيمته الابتدائية، من 9 V إلى 3.3 V. منحنى \(\ln U(t)\) للتفريغ خط مستقيم ميله \(-1/RC\) ≈ −0.1 s⁻¹، لذا تعطي الطريقتان كلتاهما \(RC\) ≈ 10 s، وهو ما يساوي 10 kΩ · 1000 µF. مع مكثفين على التوازي يبلغ الجهد 5.7 V خلال 20 s: يصبح \(\tau\) ضعف ما كان، ومواسعة المكثفين معًا 2000 µF، فالمواسعات تُجمع عند التوصيل على التوازي.

الأسئلة

1. مع مقاومة 20 kΩ، متى يبلغ الجهد 5.7 V، وكم يكون ميل منحنى \(\ln U(t)\) للتفريغ؟
2. من قراءات الشحن، احسب التيار في المقاومة عند \(t\) = 0 وعند \(t = \tau\). ثم ارسم المماس لمنحنى الشحن عند \(t\) = 0: في أي لحظة يبلغ 9 V؟
3. أثناء التفريغ، هل يمر التيار في المقاومة في الاتجاه نفسه كما أثناء الشحن؟ تتبّع على المخطط من أين تتدفق الشحنة وإلى أين.
4. كم يكون \(\tau\) لو وُصل مكثفان كهذين على التوالي؟ ولماذا تقل المواسعة في هذه الحالة؟

الإجابات

1. يتضاعف \(\tau = R \cdot C\) فيصبح 20 kΩ · 1000 µF = 20 s: يبلغ الجهد 5.7 V بعد 20 s بدلًا من 10 s، ويقل ميل منحنى \(\ln U(t)\) إلى النصف، فيصبح −0.05 s⁻¹.
2. عند \(t\) = 0 يكون المكثف فارغًا، ويقع الجهد كله، 9 V، على المقاومة، و\(I\) = 9 V / 10 kΩ = 0.9 mA. عند \(t = \tau\) يكون على المكثف نحو 5.7 V، وعلى المقاومة 9 V − 5.7 V = 3.3 V، و\(I\) ≈ 0.33 mA. في اللحظة الأولى يُشحن المكثف بمعدل \(I / C\) = 0.9 mA / 1000 µF = 0.9 V/s؛ وبهذا المعدل كان سيبلغ 9 V في 10 s، لذا يقطع المماس 9 V عند \(t = RC\).
3. لا، يمر في الاتجاه المعاكس. أثناء الشحن تتدفق الشحنة من الطرف الموجب للمصدر عبر الطرف «1» والطرف المشترك والمقاومة إلى لوح المكثف المواجه للمقاومة، فيصبح هذا اللوح موجبًا. في الموضع «2» يخرج المصدر من الحلقة: تصل المقاومة والطرف المشترك والطرف «2» ذلك اللوح بالطرف السالب، الموصول به اللوح الآخر أيضًا، فتعود الشحنة من اللوح الموجب عبر المقاومة نحو المفتاح.
4. على التوالي \(1 / C = 1 / C_1 + 1 / C_2\)، فيعطي مكثفان مواسعة كل منهما 1000 µF مواسعة 500 µF، ويكون \(\tau\) = 10 kΩ · 500 µF = 5 s. يحمل المكثفان الشحنة نفسها، ويتوزع جهد المصدر بينهما، فتحتاج الشحنة نفسها إلى ضعف الجهد، وتنخفض \(C = Q / U\) إلى النصف.